5.7. EXERCICES
1
Chaque individu infecté subit une période d’incubation entre le moment où il est infecté
par le VIH et le moment où les symptômes du SIDA apparaissent. La durée de cette
période d’incubation est aléatoire. Les périodes d’incubation pour les différents individus
sont indépendantes et identiquement distribuées, de loi commune la loi sur R + de fonction
de répartition connue G. On notera pour t ∈ R + ,
˜
G(t) = 1 − G(t).
On note N
1
t le nombre d’individus qui, à l’instant t, présentent les symptômes du SIDA, et
par N
2
t le nombre d’individus qui, à l’instant t, sont infectés par le VIH mais ne présentent
pas encore les symptômes du SIDA.
1 - Préliminaires : Soit n ∈ N
∗ . On note S n l’ensemble des permutations de {1, · · · , n}.
Soit t > 0 et X 1 , · · · , X n des variables aléatoires indépendantes, de loi uniforme sur [0, t].
On appelle (Y 1 , · · · , Y n ) la même suite ordonnée par ordre croissant.
Montrer que le vecteur aléatoire (Y 1 , · · · , Y n ) suit la loi uniforme sur l’ensemble
{(y 1 , · · · , y n ); y 1 ≤ · · · ≤ y n ≤ t},
dont on donnera la densité. (On pourra remarquer que pour toute f continue bornée,
E(f (Y 1 , · · · , Y n )) =
σ∈Sn
E(f (X σ(1) , · · · , X σ(n) )1 {X σ(1) ≤···≤X σ(n) } ). )
2 - Soient T 1 , , T 2 , · · · , T n les n premiers temps de saut du processus (N t , t ≥ 0).
Soit 0 < t 1 < · · · < t n < t. Calculer
P(T 1 < t 1 < T 2 < t 2 < T 3 < · · · < T n < t n |N t = n).
En déduire que la loi conditionnelle du vecteur aléatoire (T 1 , · · · , T n ) sachant N t = n est
la loi trouvée en 1).
3 - Soit n ∈ N
∗ et (T 1 , · · · , T n ) défini comme ci-dessus. On appelle (Z 1 , · · · , Z n ) le vecteur
(T σ(1) , · · · , T σ(n) ), où σ est une permutation aléatoire indépendante du processus (N t , t ≥
0) et tirée uniformément dans S n .
Donner la loi de (Z 1 , · · · , Z n ) conditionnellement à N t = n.
4 - Quelle est la probabilité qu’un individu infecté par le VIH au temps s voit les symptômes apparaître au temps t ? En déduire la probabilité p t que l’individu infecté au temps
Z i soit malade au temps t, et la probabilité q t qu’il ne le soit pas. (On remarquera qu’elles
ne dépendent pas de i).
5 - Calculer, pour k, l ∈ N, la probabilité P(N
1
t = k ; N
2
t = l).
En déduire que pour tout t > 0, N
1
t et N
2
t sont deux variables aléatoires indépendantes,
qui suivent des lois de Poisson dont on donnera les paramètres.
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Chaque individu infecté subit une période d’incubation entre le moment où il est infecté
par le VIH et le moment où les symptômes du SIDA apparaissent. La durée de cette
période d’incubation est aléatoire. Les périodes d’incubation pour les différents individus
sont indépendantes et identiquement distribuées, de loi commune la loi sur R + de fonction
de répartition connue G. On notera pour t ∈ R + ,
˜
G(t) = 1 − G(t).
On note N
1
t le nombre d’individus qui, à l’instant t, présentent les symptômes du SIDA, et
par N
2
t le nombre d’individus qui, à l’instant t, sont infectés par le VIH mais ne présentent
pas encore les symptômes du SIDA.
1 - Préliminaires : Soit n ∈ N
∗ . On note S n l’ensemble des permutations de {1, · · · , n}.
Soit t > 0 et X 1 , · · · , X n des variables aléatoires indépendantes, de loi uniforme sur [0, t].
On appelle (Y 1 , · · · , Y n ) la même suite ordonnée par ordre croissant.
Montrer que le vecteur aléatoire (Y 1 , · · · , Y n ) suit la loi uniforme sur l’ensemble
{(y 1 , · · · , y n ); y 1 ≤ · · · ≤ y n ≤ t},
dont on donnera la densité. (On pourra remarquer que pour toute f continue bornée,
E(f (Y 1 , · · · , Y n )) =
σ∈Sn
E(f (X σ(1) , · · · , X σ(n) )1 {X σ(1) ≤···≤X σ(n) } ). )
2 - Soient T 1 , , T 2 , · · · , T n les n premiers temps de saut du processus (N t , t ≥ 0).
Soit 0 < t 1 < · · · < t n < t. Calculer
P(T 1 < t 1 < T 2 < t 2 < T 3 < · · · < T n < t n |N t = n).
En déduire que la loi conditionnelle du vecteur aléatoire (T 1 , · · · , T n ) sachant N t = n est
la loi trouvée en 1).
3 - Soit n ∈ N
∗ et (T 1 , · · · , T n ) défini comme ci-dessus. On appelle (Z 1 , · · · , Z n ) le vecteur
(T σ(1) , · · · , T σ(n) ), où σ est une permutation aléatoire indépendante du processus (N t , t ≥
0) et tirée uniformément dans S n .
Donner la loi de (Z 1 , · · · , Z n ) conditionnellement à N t = n.
4 - Quelle est la probabilité qu’un individu infecté par le VIH au temps s voit les symptômes apparaître au temps t ? En déduire la probabilité p t que l’individu infecté au temps
Z i soit malade au temps t, et la probabilité q t qu’il ne le soit pas. (On remarquera qu’elles
ne dépendent pas de i).
5 - Calculer, pour k, l ∈ N, la probabilité P(N
1
t = k ; N
2
t = l).
En déduire que pour tout t > 0, N
1
t et N
2
t sont deux variables aléatoires indépendantes,
qui suivent des lois de Poisson dont on donnera les paramètres.
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