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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
(T i : i ≥ 1) aléatoires, la pêche provoque la disparition d’une proportion de la population
de sardines.
Nous modélisons le processus comptant les événements de pêche, N t := Card{i ≥ 1 : T i ≤
t}, par un processus de Poisson d’intensité r > 0.
De plus les pêches successives ont des effets indépendants et identiquement distribués,
indépendants de (N t : t ≥ 0).
On suppose que X 0 = 1.
1 - Justifier que la taille de la population de sardines au temps t ≥ 0 est donnée par le
processus
X t = e
gt
Nt
i=1
F i
où les (F i : i ≥ 1) forment une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une variable aléatoire F ∈ [0, 1].
Dans la suite, on suppose que E(log(
1
F
)) < +∞.
On rappelle que
Nt
t
→ r p.s. quand t → +∞ (voir Proposition 5.2.15).
2-a - Montrer que
log(X t )
t
t→∞
−→ g − r E(log(
1
F
))
p.s.
2-b - En déduire la limite presque-sûre de X t , quand g = r E(log(
1
F
)).
3-a - Montrer que
Y t = e
−gt+rt(1−E(F )) X t
est une martingale pour la filtration (F t = σ(X s , s ≤ t), t ≥ 0).
3-b - En déduire que Y t converge p.s. vers une variable aléatoire Y ∞ finie presquesûrement.
3-c - On suppose que P(F = 1) < 1. Montrer que Y ∞ = 0 p.s..
4 - Une législation pour la préservation des sardines pourrait consister à fixer l’effet moyen
de la pêche, c’est-à-dire fixer c = E(F ) ∈]0, 1[.
Cette contrainte est-elle judicieuse pour la préservation des sardines ?
Pour une valeur c fixée par la législation, existe-t-il un taux de croissance g qui assure la
survie des sardines ?
Exercice 5.7.2
On admet que la population des individus infectés par le virus VIH croît selon un processus
de Poisson d’intensité inconnue λ. On notera N t le nombre d’individus infectés à l’instant
t. On ne prendra pas en compte les décès.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
(T i : i ≥ 1) aléatoires, la pêche provoque la disparition d’une proportion de la population
de sardines.
Nous modélisons le processus comptant les événements de pêche, N t := Card{i ≥ 1 : T i ≤
t}, par un processus de Poisson d’intensité r > 0.
De plus les pêches successives ont des effets indépendants et identiquement distribués,
indépendants de (N t : t ≥ 0).
On suppose que X 0 = 1.
1 - Justifier que la taille de la population de sardines au temps t ≥ 0 est donnée par le
processus
X t = e
gt
Nt
i=1
F i
où les (F i : i ≥ 1) forment une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une variable aléatoire F ∈ [0, 1].
Dans la suite, on suppose que E(log(
1
F
)) < +∞.
On rappelle que
Nt
t
→ r p.s. quand t → +∞ (voir Proposition 5.2.15).
2-a - Montrer que
log(X t )
t
t→∞
−→ g − r E(log(
1
F
))
p.s.
2-b - En déduire la limite presque-sûre de X t , quand g = r E(log(
1
F
)).
3-a - Montrer que
Y t = e
−gt+rt(1−E(F )) X t
est une martingale pour la filtration (F t = σ(X s , s ≤ t), t ≥ 0).
3-b - En déduire que Y t converge p.s. vers une variable aléatoire Y ∞ finie presquesûrement.
3-c - On suppose que P(F = 1) < 1. Montrer que Y ∞ = 0 p.s..
4 - Une législation pour la préservation des sardines pourrait consister à fixer l’effet moyen
de la pêche, c’est-à-dire fixer c = E(F ) ∈]0, 1[.
Cette contrainte est-elle judicieuse pour la préservation des sardines ?
Pour une valeur c fixée par la législation, existe-t-il un taux de croissance g qui assure la
survie des sardines ?
Exercice 5.7.2
On admet que la population des individus infectés par le virus VIH croît selon un processus
de Poisson d’intensité inconnue λ. On notera N t le nombre d’individus infectés à l’instant
t. On ne prendra pas en compte les décès.
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