5.7. EXERCICES
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(x(t), t ∈ [0, T ])) = ((x 1 (t), x 2 (t)), t ∈ [0, T ])) du système différentiel suivant :
dx 1 (t) = r 1 x 1 (t) − c 11 (x 1 (t))
2 − c 12 x 1 (t) x 2 (t),
dx 2 (t) = r 2 x 2 (t) − c 21 x 1 (t) x 2 (t) − c 22 (x 2 (t))
2 .
(5.6.48)
Ces systèmes ont été beaucoup étudiés par les biologistes théoriciens et par les spécialistes
de systèmes dynamiques. Ils sont connus sous le nom de systèmes de Lotka-Volterra
compétitifs. L’on peut montrer facilement que le système a un équilibre instable (0, 0) et
trois équilibres stables (
r1
c11
, 0), (0,
r2
c22
) qui représentent la fixation d’une population et la
disparition de l’autre et un équilibre non trivial (x
∗
1 , x
∗
2 ) facilement calculable qui décrit
une population à l’équilibre avec coexistence des deux types.
Il est possible de généraliser l’hypothèse (5.6.47) comme au Paragraphe 5.6.1 ou considérer
des paramètres c ij > 0 qui peuvent modéliser de la coopération et obtenir ainsi un système
dynamique plus compliqué. Un cas très célèbre de tel système dynamique est le modèle de
proie-prédateur. Le modèle historique de prédation est dû à Volterra (1926) et de manière
presque contemporaine à Lotka (voir [6]). Imaginons que les deux types de populations
sont respectivement des proies et les prédateurs de ces proies. Nous supposons que :
• En l’absence de prédateurs, l’effectif de la population de proies croît exponentiellement.
• En l’absence de proies, l’effectif de la population de prédateurs décroît exponentiellement.
• Les taux de disparition des proies et de croissance des prédateurs sont proportionnels
au nombre de rencontres entre une proie et un prédateur.
Nous obtenons alors le modèle suivant :
dx 1 (t) = α 1 x 1 (t) − β 1 x 1 (t)x 2 (t),
dx 2 (t) = −α 2 x 2 (t) + β 2 x 1 (t)x 2 (t),
(5.6.49)
où les paramètres α 1 , α 2 , β 1 et β 2 sont positifs. Pour l’étude des systèmes (5.6.48) et
(5.6.49), nous renvoyons en particulier au livre de Jacques Istas [41]. Voir aussi Renshaw
[65], Kot [50].
Il existe aussi une version stochastique du modèle (5.6.48) où l’on peut ajouter à chaque
équation un terme de la forme
γ i X i (t) dB i (t), où B i est un mouvement brownien. Ce
système de Lotka-Volterra stochastique est obtenu comme approximation du processus
de naissance et mort multi-type dans le cas de naissances et morts très rapides, comme
pour l’équation de Feller. (Voir Cattiaux-Méléard [16]).
5.7 Exercices
Exercice 5.7.1 Effet de la pêche sur un banc de sardines
On modélise ici l’évolution du nombre de sardines présentes dans un banc par un processus
(X t , t ≥ 0). Les sardines se reproduisent et leur nombre croît au taux g > 0. A des instants
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(x(t), t ∈ [0, T ])) = ((x 1 (t), x 2 (t)), t ∈ [0, T ])) du système différentiel suivant :
dx 1 (t) = r 1 x 1 (t) − c 11 (x 1 (t))
2 − c 12 x 1 (t) x 2 (t),
dx 2 (t) = r 2 x 2 (t) − c 21 x 1 (t) x 2 (t) − c 22 (x 2 (t))
2 .
(5.6.48)
Ces systèmes ont été beaucoup étudiés par les biologistes théoriciens et par les spécialistes
de systèmes dynamiques. Ils sont connus sous le nom de systèmes de Lotka-Volterra
compétitifs. L’on peut montrer facilement que le système a un équilibre instable (0, 0) et
trois équilibres stables (
r1
c11
, 0), (0,
r2
c22
) qui représentent la fixation d’une population et la
disparition de l’autre et un équilibre non trivial (x
∗
1 , x
∗
2 ) facilement calculable qui décrit
une population à l’équilibre avec coexistence des deux types.
Il est possible de généraliser l’hypothèse (5.6.47) comme au Paragraphe 5.6.1 ou considérer
des paramètres c ij > 0 qui peuvent modéliser de la coopération et obtenir ainsi un système
dynamique plus compliqué. Un cas très célèbre de tel système dynamique est le modèle de
proie-prédateur. Le modèle historique de prédation est dû à Volterra (1926) et de manière
presque contemporaine à Lotka (voir [6]). Imaginons que les deux types de populations
sont respectivement des proies et les prédateurs de ces proies. Nous supposons que :
• En l’absence de prédateurs, l’effectif de la population de proies croît exponentiellement.
• En l’absence de proies, l’effectif de la population de prédateurs décroît exponentiellement.
• Les taux de disparition des proies et de croissance des prédateurs sont proportionnels
au nombre de rencontres entre une proie et un prédateur.
Nous obtenons alors le modèle suivant :
dx 1 (t) = α 1 x 1 (t) − β 1 x 1 (t)x 2 (t),
dx 2 (t) = −α 2 x 2 (t) + β 2 x 1 (t)x 2 (t),
(5.6.49)
où les paramètres α 1 , α 2 , β 1 et β 2 sont positifs. Pour l’étude des systèmes (5.6.48) et
(5.6.49), nous renvoyons en particulier au livre de Jacques Istas [41]. Voir aussi Renshaw
[65], Kot [50].
Il existe aussi une version stochastique du modèle (5.6.48) où l’on peut ajouter à chaque
équation un terme de la forme
γ i X i (t) dB i (t), où B i est un mouvement brownien. Ce
système de Lotka-Volterra stochastique est obtenu comme approximation du processus
de naissance et mort multi-type dans le cas de naissances et morts très rapides, comme
pour l’équation de Feller. (Voir Cattiaux-Méléard [16]).
5.7 Exercices
Exercice 5.7.1 Effet de la pêche sur un banc de sardines
On modélise ici l’évolution du nombre de sardines présentes dans un banc par un processus
(X t , t ≥ 0). Les sardines se reproduisent et leur nombre croît au taux g > 0. A des instants
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