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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
temps moyen d’extinction est alors de l’ordre de e
CK où C > 0 dépend des paramètres de
naissance et mort (cf [22]).
- L’équation différentielle stochastique de Feller logistique - Ce modèle est une approximation en grande population, mais sous l’hypothèse que les taux de naissance et de mort sont
très grands. Il est pertinent si l’on étudie des populations très petites et en grand nombre,
qui se reproduisent et meurent très rapidement (populations d’insectes ou de bactéries par
exemple). Le “bruit” créé par les sauts permanents dus aux naissances et aux morts est
tellement important qu’il va subsister à la limite. C’est ce qui explique l’apparition d’une
nouvelle stochasticité démographique, à travers le terme stochastique brownien. Dans ce
cas, nous avons montré par des arguments de calcul stochastique que le processus converge
presque-sûrement vers 0 et nous pouvons décrire la loi du temps d’atteinte de 0.
5.6.3 Les modèles de proie-prédateur, système de Lotka-Volterra
Il est possible de développer des modèles de processus de branchement ou de naissance
et de mort multi-types en temps continu. Nous nous intéressons ici à un cas qui prend en
compte les interactions entre les sous-populations des deux types.
Nous allons définir, pour une population initiale de taille K,
• r
1,K
i
: taux de croissance de la sous-population de type 1 dans l’état i,
• r
2,K
i
: taux de croissance de la sous-population de type 2 dans l’état i,
•
c 11
K
> 0 : taux de compétition entre deux individus de type 1,
•
c 12
K
> 0 : taux de compétition d’un individu de type 2 sur un individu de type 1,
•
c 21
K
> 0 : taux de compétition d’un individu de type 1 sur un individu de type 2,
•
c 22
K
> 0 : taux de compétition entre deux individus de type 2.
Nous supposons que pour tout état x,
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K
r
1,K
i
= r 1 x ;
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K
r
2,K
i
= r 2 x ,
(5.6.47)
où r 1 et r 2 sont deux nombres réels strictement positifs, ce qui veut dire qu’en l’absence
de toute compétition, les deux populations auraient tendance à se développer à vitesse
exponentielle.
Nous pouvons adapter les arguments du Paragraphe 5.6.1 et montrer que le processus de naissance et mort (
1
K
Z
K
t , t ∈ [0, T ]) =
(
1
K
Z
1,K
t
,
1
K
Z
2,K
t
), t ∈ [0, T ]
, composé des
deux sous-processus décrivant les tailles des sous-populations de type 1 et de type 2
renormalisées par
1
K
, converge quand K tend vers l’infini vers la solution déterministe
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
temps moyen d’extinction est alors de l’ordre de e
CK où C > 0 dépend des paramètres de
naissance et mort (cf [22]).
- L’équation différentielle stochastique de Feller logistique - Ce modèle est une approximation en grande population, mais sous l’hypothèse que les taux de naissance et de mort sont
très grands. Il est pertinent si l’on étudie des populations très petites et en grand nombre,
qui se reproduisent et meurent très rapidement (populations d’insectes ou de bactéries par
exemple). Le “bruit” créé par les sauts permanents dus aux naissances et aux morts est
tellement important qu’il va subsister à la limite. C’est ce qui explique l’apparition d’une
nouvelle stochasticité démographique, à travers le terme stochastique brownien. Dans ce
cas, nous avons montré par des arguments de calcul stochastique que le processus converge
presque-sûrement vers 0 et nous pouvons décrire la loi du temps d’atteinte de 0.
5.6.3 Les modèles de proie-prédateur, système de Lotka-Volterra
Il est possible de développer des modèles de processus de branchement ou de naissance
et de mort multi-types en temps continu. Nous nous intéressons ici à un cas qui prend en
compte les interactions entre les sous-populations des deux types.
Nous allons définir, pour une population initiale de taille K,
• r
1,K
i
: taux de croissance de la sous-population de type 1 dans l’état i,
• r
2,K
i
: taux de croissance de la sous-population de type 2 dans l’état i,
•
c 11
K
> 0 : taux de compétition entre deux individus de type 1,
•
c 12
K
> 0 : taux de compétition d’un individu de type 2 sur un individu de type 1,
•
c 21
K
> 0 : taux de compétition d’un individu de type 1 sur un individu de type 2,
•
c 22
K
> 0 : taux de compétition entre deux individus de type 2.
Nous supposons que pour tout état x,
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K
r
1,K
i
= r 1 x ;
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K
r
2,K
i
= r 2 x ,
(5.6.47)
où r 1 et r 2 sont deux nombres réels strictement positifs, ce qui veut dire qu’en l’absence
de toute compétition, les deux populations auraient tendance à se développer à vitesse
exponentielle.
Nous pouvons adapter les arguments du Paragraphe 5.6.1 et montrer que le processus de naissance et mort (
1
K
Z
K
t , t ∈ [0, T ]) =
(
1
K
Z
1,K
t
,
1
K
Z
2,K
t
), t ∈ [0, T ]
, composé des
deux sous-processus décrivant les tailles des sous-populations de type 1 et de type 2
renormalisées par
1
K
, converge quand K tend vers l’infini vers la solution déterministe
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