5.6. APPROXIMATIONS CONTINUES
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d’une solution jusqu’au temps T 0 ∧ T ∞ et que 0 est un point absorbant. Or nous avons
montré au Paragraphe 4.7.2 que T ∞ = ∞ p.s. et que P(T 0 < +∞) = 1. Ainsi la solution
est bien définie et est unique sur tout R + .
Preuve. La preuve du
5 .6 .2 se déroule de manière similaire à celle du Théorème
5.6.1, en particulier la preuve de la tension des lois. En revanche l’identification de la loi
limite est plus subtile. Pour une preuve complète, nous renvoyons à Lipow [54] ou à [9].
Donnons ici quelques indications.
Par rapport à l’étude précédente, le terme qui change dans le calcul du générateur est
le terme d’ordre 2 qui correspond à la variance infinitésimale. Ici ce terme n’est pas nul.
Plus précisément, le générateur de X
K , pour toute fonction f de classe C
3
b , s’écrit
Q
K f (
i
K
) =
y∈
N
K
Q
K (
i
K
, y)
f (y) − f (
i
K
)
=
λ
K
i
f (
i
K
+
1
K
) − f (
i
K
)
+
μ
K
i
f (
i
K
−
1
K
) − f (
i
K
)
=
(λ
K
i − μ
K
i )
K
f
(
i
K
) +
1
2K 2 (
λ
K
i +
μ
K
i )f
(
i
K
) + o(
f
∞
K 2 ),
qui converge uniformément vers Qf (x) = H(x)f
(x) + γ xf
(x), quand K tend vers
l’infini et
i
K
tend vers x. Nous reconnaissons le générateur du processus de diffusion
dX t = H(X t )dt +
2γX t dB t .
Remarque 5.6.3 Nous avons introduit et justifié différents modèles markoviens, probabilistes ou déterministes, continus en temps ou à saut, qui décrivent la dynamique de la
même population dans des échelles de taille et de temps variées. Ces modèles ont des
comportements asymptotiques très différents.
Résumons les différentes modélisations du cas logistique :
- Le processus de naissance et mort logistique décrit la dynamique de la taille d’une petite
population soumise aux fluctuations aléatoires. Le processus tend vers 0 en temps long.
Nous avons obtenu en ce cas le temps moyen d’extinction comme somme d’une série.
- Le modèle déterministe : l’équation logistique - Celui-ci est une approximation en grande
population du processus de naissance et mort. La solution de l’équation logistique converge
quand le temps tend vers l’infini vers une limite non nulle, appelée capacité de charge, qui
décrit l’état d’équilibre de la population. Ce modèle a un sens si l’on étudie une grande
population, qui bien qu’aléatoire, est approchée par cette approximation déterministe. La
probabilité que le processus de naissance et mort s’éloigne de la capacité de charge est
petite mais non nulle et peut être quantifiée par un théorème de grandes déviations. Le
8
Théorème
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d’une solution jusqu’au temps T 0 ∧ T ∞ et que 0 est un point absorbant. Or nous avons
montré au Paragraphe 4.7.2 que T ∞ = ∞ p.s. et que P(T 0 < +∞) = 1. Ainsi la solution
est bien définie et est unique sur tout R + .
Preuve. La preuve du
5 .6 .2 se déroule de manière similaire à celle du Théorème
5.6.1, en particulier la preuve de la tension des lois. En revanche l’identification de la loi
limite est plus subtile. Pour une preuve complète, nous renvoyons à Lipow [54] ou à [9].
Donnons ici quelques indications.
Par rapport à l’étude précédente, le terme qui change dans le calcul du générateur est
le terme d’ordre 2 qui correspond à la variance infinitésimale. Ici ce terme n’est pas nul.
Plus précisément, le générateur de X
K , pour toute fonction f de classe C
3
b , s’écrit
Q
K f (
i
K
) =
y∈
N
K
Q
K (
i
K
, y)
f (y) − f (
i
K
)
=
λ
K
i
f (
i
K
+
1
K
) − f (
i
K
)
+
μ
K
i
f (
i
K
−
1
K
) − f (
i
K
)
=
(λ
K
i − μ
K
i )
K
f
(
i
K
) +
1
2K 2 (
λ
K
i +
μ
K
i )f
(
i
K
) + o(
f
∞
K 2 ),
qui converge uniformément vers Qf (x) = H(x)f
(x) + γ xf
(x), quand K tend vers
l’infini et
i
K
tend vers x. Nous reconnaissons le générateur du processus de diffusion
dX t = H(X t )dt +
2γX t dB t .
Remarque 5.6.3 Nous avons introduit et justifié différents modèles markoviens, probabilistes ou déterministes, continus en temps ou à saut, qui décrivent la dynamique de la
même population dans des échelles de taille et de temps variées. Ces modèles ont des
comportements asymptotiques très différents.
Résumons les différentes modélisations du cas logistique :
- Le processus de naissance et mort logistique décrit la dynamique de la taille d’une petite
population soumise aux fluctuations aléatoires. Le processus tend vers 0 en temps long.
Nous avons obtenu en ce cas le temps moyen d’extinction comme somme d’une série.
- Le modèle déterministe : l’équation logistique - Celui-ci est une approximation en grande
population du processus de naissance et mort. La solution de l’équation logistique converge
quand le temps tend vers l’infini vers une limite non nulle, appelée capacité de charge, qui
décrit l’état d’équilibre de la population. Ce modèle a un sens si l’on étudie une grande
population, qui bien qu’aléatoire, est approchée par cette approximation déterministe. La
probabilité que le processus de naissance et mort s’éloigne de la capacité de charge est
petite mais non nulle et peut être quantifiée par un théorème de grandes déviations. Le
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Théorème