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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
que les individus sont petits. Plus précisément, nous supposons que les taux individuels
de naissance et de mort sont respectivement de la forme
λ
K
i = γ i K + λ
K
i
et
μ
K
i = γ iK + μ
K
i ,
où λ
K
i et μ
K
i sont choisis comme en (5.6.39). Ainsi,
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K
(
λ
K
i −
μ
K
i ) = H(x)
(5.6.42)
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K 2 (
λ
K
i +
μ
K
i ) = 2γ x.
(5.6.43)
Par rapport à l’étude précédente, le seul calcul qui change est le calcul des variances. Ici
la limite des variances n’est pas nulle. Plus précisément, on obtient que
V ar(X t+h − X t | X t ) = 2γX t h + o(h).
Rappelons que par ailleurs, E(X t+h − X t | X t ) = H(X t ) h + o(h). Nous supposons encore
(5.6.36), en permettant à la limite X 0 d’être éventuellement aléatoire. La suite de processus
(X
K
t , t ≥ 0) converge alors vers un processus stochastique.
Théorème 5.6.2 Soit T > 0. Supposons que la suite (X
K
0 ) K converge en loi, quand K
tend vers l’infini, vers une variable aléatoire X 0 de carré intégrable. Supposons de plus que
(5.6.42) et (5.6.43) soient satisfaites. Alors, la suite de processus (X
K
t , t ∈ [0, T ]) converge
en loi vers le processus (X t , t ∈ [0, T ]) solution de l’équation différentielle stochastique
dX t = H(X t )dt +
2γX t dB t ; X 0 ,
(5.6.44)
dès lors que l’on a existence et unicité de l’équation (5.6.44). ( (B t , t ≥ 0) désigne un
mouvement brownien standard).
Dans le cas où la fonction H est lipschitzienne, le Théorème 4.6.11 nous assure de l’existence et unicité de la solution de (5.6.44). C’est en particulier vrai pour le cas malthusien,
où la suite de processus (X
K
t , t ∈ [0, T ]) converge vers le processus (X t , t ∈ [0, T ]) solution
de l’équation différentielle stochastique
dX t = r X t dt +
2γX t dB t ; X 0 .
(5.6.45)
C’est l’équation de Feller étudiée au Paragraphe 4.7.1 et dans l’Exercice 4.8.6.
Dans le cas logistique, l’équation limite devient
dX t = (r − c X t )X t dt +
2γX t dB t ; X 0 .
(5.6.46)
C’est l’équation de Feller logistique étudiée au Paragraphe 4.7.2 et dans l’Exercice 4.8.7.
Par des arguments généraux (voir [40]), l’on peut montrer qu’il y a existence et unicité
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
que les individus sont petits. Plus précisément, nous supposons que les taux individuels
de naissance et de mort sont respectivement de la forme
λ
K
i = γ i K + λ
K
i
et
μ
K
i = γ iK + μ
K
i ,
où λ
K
i et μ
K
i sont choisis comme en (5.6.39). Ainsi,
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K
(
λ
K
i −
μ
K
i ) = H(x)
(5.6.42)
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K 2 (
λ
K
i +
μ
K
i ) = 2γ x.
(5.6.43)
Par rapport à l’étude précédente, le seul calcul qui change est le calcul des variances. Ici
la limite des variances n’est pas nulle. Plus précisément, on obtient que
V ar(X t+h − X t | X t ) = 2γX t h + o(h).
Rappelons que par ailleurs, E(X t+h − X t | X t ) = H(X t ) h + o(h). Nous supposons encore
(5.6.36), en permettant à la limite X 0 d’être éventuellement aléatoire. La suite de processus
(X
K
t , t ≥ 0) converge alors vers un processus stochastique.
Théorème 5.6.2 Soit T > 0. Supposons que la suite (X
K
0 ) K converge en loi, quand K
tend vers l’infini, vers une variable aléatoire X 0 de carré intégrable. Supposons de plus que
(5.6.42) et (5.6.43) soient satisfaites. Alors, la suite de processus (X
K
t , t ∈ [0, T ]) converge
en loi vers le processus (X t , t ∈ [0, T ]) solution de l’équation différentielle stochastique
dX t = H(X t )dt +
2γX t dB t ; X 0 ,
(5.6.44)
dès lors que l’on a existence et unicité de l’équation (5.6.44). ( (B t , t ≥ 0) désigne un
mouvement brownien standard).
Dans le cas où la fonction H est lipschitzienne, le Théorème 4.6.11 nous assure de l’existence et unicité de la solution de (5.6.44). C’est en particulier vrai pour le cas malthusien,
où la suite de processus (X
K
t , t ∈ [0, T ]) converge vers le processus (X t , t ∈ [0, T ]) solution
de l’équation différentielle stochastique
dX t = r X t dt +
2γX t dB t ; X 0 .
(5.6.45)
C’est l’équation de Feller étudiée au Paragraphe 4.7.1 et dans l’Exercice 4.8.6.
Dans le cas logistique, l’équation limite devient
dX t = (r − c X t )X t dt +
2γX t dB t ; X 0 .
(5.6.46)
C’est l’équation de Feller logistique étudiée au Paragraphe 4.7.2 et dans l’Exercice 4.8.7.
Par des arguments généraux (voir [40]), l’on peut montrer qu’il y a existence et unicité
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