5.6. APPROXIMATIONS CONTINUES
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Equation logistique
Supposons maintenant que l’hypothèse (5.6.38) soit satisfaite. Alors, la limite en grande
population est décrite par la solution de l’équation différentielle
˙
x(t) = x(t)(r − c x(t)) ; x(0) = x 0 ,
(5.6.41)
appelée équation logistique. Cette équation est célèbre en dynamique des populations (introduite par Verhulst en 1838, cf. [6]) dans le cas où le taux de croissance r est positif mais
où la compétition va entraîner une régulation de la population et l’empêcher d’exploser.
Supposons donc r > 0. L’équation a deux équilibres : 0 et
r
c
= 0 et 0 est instable. Il est
facile de trouver la solution explicite de l’équation (5.6.41) :
x(t) =
rx 0 e
rt
r − Cx 0 + Cx 0 e rt .
et de voir que cette solution converge quand t → ∞, dès que x 0 = 0, vers la quantité
r
c
appelée capacité de charge. Il est important de souligner la différence de comportement
en temps long entre
• ce modèle logistique et le modèle de Malthus.
• cette équation logistique limite et le processus stochastique en petite population, puisque
nous avons vu au Chapitre 5.5.3 que le processus de naissance et de mort logistique
s’éteint presque-sûrement. Ainsi, les limites quand K → ∞ et t → ∞ ne commutent
pas !
L’utilisation d’un tel modèle déterministe n’a donc de sens que pour de grandes populations. Elle ne prend pas en compte les variations stochastiques dues aux petits effectifs.
Ainsi, en écologie, si la population passe en-dessous d’un certain effectif, le modèle déterministe perd son sens et il est pertinent de considérer le modèle stochastique. Des
travaux de recherche récents cherchent à définir le seuil de taille à partir duquel le modèle
déterministe n’est plus adapté, cf. Coron et al. [26].
5.6.2 Approximation stochastique - Stochasticité démographique,
Equation de Feller
Nous considérons toujours un modèle de processus de naissance et mort linéaire ou logistique. Nous supposons maintenant que les taux de naissance et de mort individuels sont
d’ordre de grandeur K. Cette hypothèse a un sens si nous considérons une population de
très petits individus. En effet, la théorie métabolique qui relie la masse des êtres vivants
avec leurs caractéristiques (mortalité, fécondité, etc.), prédit que les temps caractéristiques individuels (âge à maturité, durée de vie, etc) croissent avec la masse des individus
(voir [12], [72]). Les taux individuels correspondant vont alors être d’autant plus grands
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Equation logistique
Supposons maintenant que l’hypothèse (5.6.38) soit satisfaite. Alors, la limite en grande
population est décrite par la solution de l’équation différentielle
˙
x(t) = x(t)(r − c x(t)) ; x(0) = x 0 ,
(5.6.41)
appelée équation logistique. Cette équation est célèbre en dynamique des populations (introduite par Verhulst en 1838, cf. [6]) dans le cas où le taux de croissance r est positif mais
où la compétition va entraîner une régulation de la population et l’empêcher d’exploser.
Supposons donc r > 0. L’équation a deux équilibres : 0 et
r
c
= 0 et 0 est instable. Il est
facile de trouver la solution explicite de l’équation (5.6.41) :
x(t) =
rx 0 e
rt
r − Cx 0 + Cx 0 e rt .
et de voir que cette solution converge quand t → ∞, dès que x 0 = 0, vers la quantité
r
c
appelée capacité de charge. Il est important de souligner la différence de comportement
en temps long entre
• ce modèle logistique et le modèle de Malthus.
• cette équation logistique limite et le processus stochastique en petite population, puisque
nous avons vu au Chapitre 5.5.3 que le processus de naissance et de mort logistique
s’éteint presque-sûrement. Ainsi, les limites quand K → ∞ et t → ∞ ne commutent
pas !
L’utilisation d’un tel modèle déterministe n’a donc de sens que pour de grandes populations. Elle ne prend pas en compte les variations stochastiques dues aux petits effectifs.
Ainsi, en écologie, si la population passe en-dessous d’un certain effectif, le modèle déterministe perd son sens et il est pertinent de considérer le modèle stochastique. Des
travaux de recherche récents cherchent à définir le seuil de taille à partir duquel le modèle
déterministe n’est plus adapté, cf. Coron et al. [26].
5.6.2 Approximation stochastique - Stochasticité démographique,
Equation de Feller
Nous considérons toujours un modèle de processus de naissance et mort linéaire ou logistique. Nous supposons maintenant que les taux de naissance et de mort individuels sont
d’ordre de grandeur K. Cette hypothèse a un sens si nous considérons une population de
très petits individus. En effet, la théorie métabolique qui relie la masse des êtres vivants
avec leurs caractéristiques (mortalité, fécondité, etc.), prédit que les temps caractéristiques individuels (âge à maturité, durée de vie, etc) croissent avec la masse des individus
(voir [12], [72]). Les taux individuels correspondant vont alors être d’autant plus grands
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