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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Supposons que les infiniment petits o(h) apparaissant dans les formules ci-dessus le sont
uniformément en K. Ainsi, le processus limite X satisfera que
X 0 = x 0 ,
lim
h→0
1
h
E(X t+h − X t | X t ) = H(X t ),
lim
h→0
1
h
V ar(X t+h − X t | X t ) = 0.
Les variances des accroissements tendent vers 0 plus vite que h et la stochasticité disparaît
donc à la limite. Nous en déduisons que X est déterministe, continu en temps et solution
de l’équation différentielle
dX t
dt
= H(X t ) ; X 0 = x 0 .
L’unicité des solutions de cette équation entraîne alors que la suite (X
K ) K converge vers
l’unique solution de l’équation. La taille Z
K
t de la population est alors de l’ordre de
grandeur Kx(t).
Une deuxième approche de preuve moins élémentaire pour cette identification consiste
à étudier la convergence des générateurs. Le générateur de X
K est défini par (5.3.6).
Considérons une fonction f bornée de classe C
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b . Nous pouvons écrire
Q
K f (
i
K
) =
y∈
N
K
Q
K (
i
K
, y)
f (y) − f (
i
K
)
= λ
K
i
f (
i
K
+
1
K
) − f (
i
K
)
+ μ
K
i
f (
i
K
−
1
K
) − f (
i
K
)
=
(λ
K
i − μ
K
i )
K
f
(
i
K
) + o(
f
∞
K
),
qui converge uniformément vers Qf (x) = H(x)f
(x), quand K → ∞ et
i
K
→ x. Nous
reconnaissons le générateur du processus déterministe, solution de (5.6.40).
Equation malthusienne
Supposons que l’hypothèse (5.6.37) soit satisfaite, à savoir que H(x) = rx. Alors, la
limite en “grande population” est décrite par la solution de l’équation différentielle
˙
x(t) = r x(t) ; x(0) = x 0 .
C’est l’équation de Malthus. Il est facile de décrire le comportement en temps long de la
solution x(t) en fonction du signe de r.
• r > 0, taux de croissance positif : x(t) → +∞. La population explose.
• r < 0, taux de croissance négatif : x(t) → 0. La population s’éteint.
• r = 0 taux de croissance nul. La taille de la population est stationnaire.
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