5.6. APPROXIMATIONS CONTINUES
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Théorème 5.6.1 Soit T > 0. Supposons que la suite (X
K
0 ) K converge en loi, quand K
tend vers l’infini, vers une valeur déterministe x 0 et plaçons-nous sous les hypothèses
(5.6.39). Supposons de plus que l’équation différentielle
dx(t)
dt
= H(x(t)) ; x(0) = x 0 .
(5.6.40)
admette une solution unique.
Alors, le processus (X
K
t , t ∈ [0, T ]) converge en loi vers la solution déterministe (x(t), t ∈
[0, T ]) de (5.6.40).
Preuve. (succincte) Ce théorème est prouvé par un résultat de compacité-unicité sur
l’ensemble des trajectoires, qui est l’ensemble des fonctions continues à droite et limitées
à gauche de [0, T ] à valeurs dans R + . Cet ensemble est appelé espace de Skorohod et noté
D([0, T ], R + ). Il est muni d’une topologie qui le rend métrique séparable complet, ce qui
permet d’appliquer les résultats généraux de caractérisation de la convergence en loi, (Cf.
Billingsley [11]). La compacité de la suite des lois des processus X
K est alors caractérisée
par la tension uniforme de ces lois :
∀ε > 0, ∃ un compact K ε ⊂ D([0, T ], R + ), tel que sup
K
P(X
K ∈ K
C
ε ) ≤ ε.
Une caractérisation des compacts de D([0, T ], R + ) est alors possible par un critère d’équicontinuité et d’équi-bornitude adapté du critère d’Ascoli (pour les fonctions continues).
Cela permet de donner des critères de tension (voir [11] ou Aldous [1]), que nous ne
développerons pas plus en détail ici, mais qui sont satisfaits dans notre cas. (Voir par
exemple Bansaye-Méléard [9]).
La suite des lois des processus X
K est donc compacte et il existe une sous-suite de
(X
K ) K qui converge en loi vers un processus X. Nous voulons montrer que X est solution
de l’équation différentielle (5.6.40), ce qui assurera son unicité. Par souci de simplicité,
notons encore la sous-suite par (X
K ) K .
Une première approche, élémentaire, consiste à étudier l’accroissement du processus (X
K
t , t ≥
0) entre des temps t et t + h. Par le Théorème 5.3.2, pour tous i ≥ 1 et K ∈ N,
E(Z
K
t+h − Z
K
t | Z
K
t = i) = ((i + 1 − i)λ
K
i + (i − 1 − i)μ
K
i ) h + o(h)
= (λ
K
i − μ
K
i )h + o(h).
V ar(Z
K
t+h − Z
K
t | Z
K
t = i) = (λ
K
i + μ
K
i )h − (λ
K
i − μ
K
i )
2 h
2 + o(h).
Ainsi, nous en déduisons que
E(X
K
t+h − X
K
t | Z
K
t = i) =
1
K
(λ
K
i − μ
K
i )h +
1
K
o(h),
V ar(X
N
t+h − X
N
t | Z
N
t = i) =
1
K 2 (λ
K
i + μ
K
i )h +
1
K 2 o(h
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).
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Théorème 5.6.1 Soit T > 0. Supposons que la suite (X
K
0 ) K converge en loi, quand K
tend vers l’infini, vers une valeur déterministe x 0 et plaçons-nous sous les hypothèses
(5.6.39). Supposons de plus que l’équation différentielle
dx(t)
dt
= H(x(t)) ; x(0) = x 0 .
(5.6.40)
admette une solution unique.
Alors, le processus (X
K
t , t ∈ [0, T ]) converge en loi vers la solution déterministe (x(t), t ∈
[0, T ]) de (5.6.40).
Preuve. (succincte) Ce théorème est prouvé par un résultat de compacité-unicité sur
l’ensemble des trajectoires, qui est l’ensemble des fonctions continues à droite et limitées
à gauche de [0, T ] à valeurs dans R + . Cet ensemble est appelé espace de Skorohod et noté
D([0, T ], R + ). Il est muni d’une topologie qui le rend métrique séparable complet, ce qui
permet d’appliquer les résultats généraux de caractérisation de la convergence en loi, (Cf.
Billingsley [11]). La compacité de la suite des lois des processus X
K est alors caractérisée
par la tension uniforme de ces lois :
∀ε > 0, ∃ un compact K ε ⊂ D([0, T ], R + ), tel que sup
K
P(X
K ∈ K
C
ε ) ≤ ε.
Une caractérisation des compacts de D([0, T ], R + ) est alors possible par un critère d’équicontinuité et d’équi-bornitude adapté du critère d’Ascoli (pour les fonctions continues).
Cela permet de donner des critères de tension (voir [11] ou Aldous [1]), que nous ne
développerons pas plus en détail ici, mais qui sont satisfaits dans notre cas. (Voir par
exemple Bansaye-Méléard [9]).
La suite des lois des processus X
K est donc compacte et il existe une sous-suite de
(X
K ) K qui converge en loi vers un processus X. Nous voulons montrer que X est solution
de l’équation différentielle (5.6.40), ce qui assurera son unicité. Par souci de simplicité,
notons encore la sous-suite par (X
K ) K .
Une première approche, élémentaire, consiste à étudier l’accroissement du processus (X
K
t , t ≥
0) entre des temps t et t + h. Par le Théorème 5.3.2, pour tous i ≥ 1 et K ∈ N,
E(Z
K
t+h − Z
K
t | Z
K
t = i) = ((i + 1 − i)λ
K
i + (i − 1 − i)μ
K
i ) h + o(h)
= (λ
K
i − μ
K
i )h + o(h).
V ar(Z
K
t+h − Z
K
t | Z
K
t = i) = (λ
K
i + μ
K
i )h − (λ
K
i − μ
K
i )
2 h
2 + o(h).
Ainsi, nous en déduisons que
E(X
K
t+h − X
K
t | Z
K
t = i) =
1
K
(λ
K
i − μ
K
i )h +
1
K
o(h),
V ar(X
N
t+h − X
N
t | Z
N
t = i) =
1
K 2 (λ
K
i + μ
K
i )h +
1
K 2 o(h
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).