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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Nous allons voir que le comportement asymptotique de la suite (X
K ) K est lié à la dépendance en K des taux de naissance et mort. Deux cas sont particulièrement intéressants :
Le cas du processus de naissance et mort linéaire : on a
λ
K
i = λ i = λ
i
K
K ; μ
K
i = μ i = μ
i
K
K.
Posons r = λ − μ. Pour tout x ∈ R + ,
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K
(λ
K
i − μ
K
i ) = r x ;
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K 2 (λ
K
i + μ
K
i ) = 0.
(5.6.37)
Le cas du processus de naissance et mort logistique : on a
λ
K
i = λ i = λ
i
K
K ; μ
K
i = μ i +
c
K
i(i − 1) = μ
i
K
K + c
i
K
K(
i
K
−
1
K
),
avec c > 0. Ainsi, pour tout état x ∈ R + ,
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K
(λ
K
i − μ
K
i ) = r x − c x
2 ;
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K 2 (λ
K
i + μ
K
i ) = 0.
(5.6.38)
Le processus de naissance et mort linéaire ne suppose pas d’interaction entre les individus,
ce qui peut être considéré comme irréaliste. Sous une hypothèse de ressource globale
fixée, il y a en général compétition entre les individus pour le partage des ressources, ce
qui accroît le taux de mort dans les grandes populations. Le processus de naissance et
mort logistique permet de réguler la taille de la population dans le cas où le taux de
croissance individuel λ − μ est positif. Chaque individu est en compétition avec les i − 1
autres individus de la population et sa biomasse est l’énergie qu’il peut consacrer à la
compétition. On peut supposer qu’elle est proportionnelle à ses ressources individuelles et
donc proportionnelle à
1
K
puisque la taille de la population est d’ordre K. C’est pourquoi
le coefficient de compétition est supposé de la forme
c
K
.
Dans les résultats présentés ci-dessous, nous généralisons les hypothèses ci-dessus, mais
en nous focalisant toujours sur le comportement asymptotique de
1
K
(λ
K
i − μ
K
i ) et de
1
K 2 (λ
K
i + μ
K
i ). Nous allons supposer plus généralement dans la suite de ce paragraphe que
les taux de naissance et mort vérifient
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K
(λ
K
i − μ
K
i ) = H(x) ;
lim
K→∞,
i
K
→x
1
K 2 (λ
K
i + μ
K
i ) = 0,
(5.6.39)
où la fonction H est continue.
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