5.6. APPROXIMATIONS CONTINUES
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5.6 Approximations continues : modèles déterministes
et stochastiques
Nous pouvons observer que les calculs deviennent vite très compliqués pour les processus
de naissance et mort que nous venons d’étudier et il peut être intéressant d’en avoir des
approximations plus maniables. Quand la taille de la population est très grande, les taux
de saut deviennent si grands que les temps entre les sauts sont infinitésimaux et tendent
vers 0. Il est donc très difficile d’observer tous les événements de saut qui surviennent et
dans la limite de très grande population, la dynamique de taille de la population va être
proche de celle d’un processus continu en temps. Dans ce paragraphe, nous allons obtenir
des approximations valables pour les grandes populations, qui seront soit déterministes
soit stochastiques suivant le choix d’échelle entre les paramètres démographiques et l’ordre
de grandeur des ressources (ou de la taille de la population). Nous justifierons ainsi des
modèles classiques de dynamique des populations. Ces différentes approximations vont
donner des résultats qualitativement différents pour le comportement en temps long de la
population et vont ainsi nous permettre de réfléchir à la pertinence du choix d’un modèle.
5.6.1 Approximations déterministes - Equations malthusienne et
logistique
Supposons que le processus de naissance et mort soit paramétré par un nombre K ∈ N
qui représente l’échelle de taille du système. L’hypothèse principale est que la condition
initiale Z
K
0 est d’ordre K, pour K tendant vers l’infini, au sens où
lim
K→+∞
1
K
Z
K
0 = x 0 ∈ R
∗
+ ,
(5.6.36)
où la limite est une limite en loi. Les taux de naissance λ
K
i
et de mort μ
K
i peuvent
également dépendre de K. Notons (Z
K
t , t ≥ 0) le processus de naissance et mort ainsi
défini.
Notre but est d’étudier le comportement asymptotique du processus (Z
K
t , t ≥ 0) quand
K → +∞. Pour obtenir une approximation non triviale du processus, nous allons le
renormaliser par
1
K
(cela revient à donner le poids
1
K
à chaque individu), et considérer le
processus (X
K
t , t ≥ 0) défini par X
K
t =
1
K
Z
K
t . Les états pris par le processus X
K sont
alors de la forme
i
K
, i ∈ N.
Nous étudions donc la limite (en loi) de la suite de processus (X
K
t , t ≥ 0), quand K tend
vers l’infini. Remarquons tout d’abord que, comme les sauts du processus de naissance
et mort ( Z
K
t , t ≥ 0) sont d’amplitude ±1, les sauts du processus ( X
K
t , t ≥ 0) sont
d’amplitude ±
1
K
et tendent vers 0 quand K → ∞. Ainsi, si le processus ( X
K
t , t ≥ 0)
converge vers un processus limite (X t , t ≥ 0), le processus (X t , t ≥ 0) sera continu en
temps. Remarquons également que le processus X pourra prendre n’importe quelle valeur
réelle positive.
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5.6 Approximations continues : modèles déterministes
et stochastiques
Nous pouvons observer que les calculs deviennent vite très compliqués pour les processus
de naissance et mort que nous venons d’étudier et il peut être intéressant d’en avoir des
approximations plus maniables. Quand la taille de la population est très grande, les taux
de saut deviennent si grands que les temps entre les sauts sont infinitésimaux et tendent
vers 0. Il est donc très difficile d’observer tous les événements de saut qui surviennent et
dans la limite de très grande population, la dynamique de taille de la population va être
proche de celle d’un processus continu en temps. Dans ce paragraphe, nous allons obtenir
des approximations valables pour les grandes populations, qui seront soit déterministes
soit stochastiques suivant le choix d’échelle entre les paramètres démographiques et l’ordre
de grandeur des ressources (ou de la taille de la population). Nous justifierons ainsi des
modèles classiques de dynamique des populations. Ces différentes approximations vont
donner des résultats qualitativement différents pour le comportement en temps long de la
population et vont ainsi nous permettre de réfléchir à la pertinence du choix d’un modèle.
5.6.1 Approximations déterministes - Equations malthusienne et
logistique
Supposons que le processus de naissance et mort soit paramétré par un nombre K ∈ N
qui représente l’échelle de taille du système. L’hypothèse principale est que la condition
initiale Z
K
0 est d’ordre K, pour K tendant vers l’infini, au sens où
lim
K→+∞
1
K
Z
K
0 = x 0 ∈ R
∗
+ ,
(5.6.36)
où la limite est une limite en loi. Les taux de naissance λ
K
i
et de mort μ
K
i peuvent
également dépendre de K. Notons (Z
K
t , t ≥ 0) le processus de naissance et mort ainsi
défini.
Notre but est d’étudier le comportement asymptotique du processus (Z
K
t , t ≥ 0) quand
K → +∞. Pour obtenir une approximation non triviale du processus, nous allons le
renormaliser par
1
K
(cela revient à donner le poids
1
K
à chaque individu), et considérer le
processus (X
K
t , t ≥ 0) défini par X
K
t =
1
K
Z
K
t . Les états pris par le processus X
K sont
alors de la forme
i
K
, i ∈ N.
Nous étudions donc la limite (en loi) de la suite de processus (X
K
t , t ≥ 0), quand K tend
vers l’infini. Remarquons tout d’abord que, comme les sauts du processus de naissance
et mort ( Z
K
t , t ≥ 0) sont d’amplitude ±1, les sauts du processus ( X
K
t , t ≥ 0) sont
d’amplitude ±
1
K
et tendent vers 0 quand K → ∞. Ainsi, si le processus ( X
K
t , t ≥ 0)
converge vers un processus limite (X t , t ≥ 0), le processus (X t , t ≥ 0) sera continu en
temps. Remarquons également que le processus X pourra prendre n’importe quelle valeur
réelle positive.
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