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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Remarque 5.5.7 La formule (5.5.33) permet de calculer tous les moments de T n . L’Exercice 5.7.4 s’intéresse aux moments d’ordres 2 et 3.
Application au branchement binaire. Revenons à l’exemple du processus de branchement binaire (voir Paragraphe 5.4.5), avec taux de naissance individuel b et taux de mort
individuel d, dans le cas où d > b. Nous avons extinction presque-sûre et nous pouvons
calculer E 1 (T 0 ). En effet
E 1 (T 0 ) =
k≥1
π k =
k≥1
b
k−1
k d k =
1
b
k≥1
1
k
b
d
k
=
1
b
log
1
1 − b/d
.
Remarquons également que dans ce cas, en appliquant (5.5.34) et pour n ∈ N
∗ ,
E n (T 0 ) =
1
b
j≥1
b
d
j
n−1
k=1
1
k + j
.
Une comparaison simple montre que
n
1
1
x + j
dx ≤
n−1
k=1
1
k + j
≤
n−1
0
1
x + j
dx.
Ainsi,
1
b
j≥1
b
d
j
log(n + j) − log(1 + j)
≤ E n (T 0 ) ≤
1
b
j≥1
b
d
j
log(n − 1 + j) − log j
.
Nous en déduisons que
E n (T 0 ) ∼ n→∞
log n
b − d
,
(5.5.35)
quand n tend vers l’infini. En effet, il est facile de montrer, par le Théorème de convergence
dominée, que la série de terme général
b
d
j log(n+j)
log n
converge quand n tend vers l’infini
vers
j≥1
b
d
j =
b
b−d
. En effet pour j et n assez grands,
log(n+j)
log n
≤
log(nj)
log n
≤ 1 + log(1 + j)
et la série
j≥1
b
d
j (1 + log(1 + j)) converge.
L’équation (5.5.35) nous dit que même si la taille de la population initiale est très grande,
le temps moyen d’extinction est court dès lors que le processus est sous-critique. Nous
avions déjà observé ce type de comportement pour le processus de Galton-Watson (voir
Théorème 3.2.12). Mais que se passe-t-il si n est extrêmement grand, comme c’est par
exemple le cas si l’on considère des cohortes de bactéries ( dont la taille arrive très vite
autour de 10
10 ) ? Pour étudier cette question, nous allons supposer dans le paragraphe
suivant que la condition initiale n est de la forme Kx 0 , où K tend vers l’infini.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Remarque 5.5.7 La formule (5.5.33) permet de calculer tous les moments de T n . L’Exercice 5.7.4 s’intéresse aux moments d’ordres 2 et 3.
Application au branchement binaire. Revenons à l’exemple du processus de branchement binaire (voir Paragraphe 5.4.5), avec taux de naissance individuel b et taux de mort
individuel d, dans le cas où d > b. Nous avons extinction presque-sûre et nous pouvons
calculer E 1 (T 0 ). En effet
E 1 (T 0 ) =
k≥1
π k =
k≥1
b
k−1
k d k =
1
b
k≥1
1
k
b
d
k
=
1
b
log
1
1 − b/d
.
Remarquons également que dans ce cas, en appliquant (5.5.34) et pour n ∈ N
∗ ,
E n (T 0 ) =
1
b
j≥1
b
d
j
n−1
k=1
1
k + j
.
Une comparaison simple montre que
n
1
1
x + j
dx ≤
n−1
k=1
1
k + j
≤
n−1
0
1
x + j
dx.
Ainsi,
1
b
j≥1
b
d
j
log(n + j) − log(1 + j)
≤ E n (T 0 ) ≤
1
b
j≥1
b
d
j
log(n − 1 + j) − log j
.
Nous en déduisons que
E n (T 0 ) ∼ n→∞
log n
b − d
,
(5.5.35)
quand n tend vers l’infini. En effet, il est facile de montrer, par le Théorème de convergence
dominée, que la série de terme général
b
d
j log(n+j)
log n
converge quand n tend vers l’infini
vers
j≥1
b
d
j =
b
b−d
. En effet pour j et n assez grands,
log(n+j)
log n
≤
log(nj)
log n
≤ 1 + log(1 + j)
et la série
j≥1
b
d
j (1 + log(1 + j)) converge.
L’équation (5.5.35) nous dit que même si la taille de la population initiale est très grande,
le temps moyen d’extinction est court dès lors que le processus est sous-critique. Nous
avions déjà observé ce type de comportement pour le processus de Galton-Watson (voir
Théorème 3.2.12). Mais que se passe-t-il si n est extrêmement grand, comme c’est par
exemple le cas si l’on considère des cohortes de bactéries ( dont la taille arrive très vite
autour de 10
10 ) ? Pour étudier cette question, nous allons supposer dans le paragraphe
suivant que la condition initiale n est de la forme Kx 0 , où K tend vers l’infini.
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