5.5. PROCESSUS DE NAISSANCE ET MORT
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(ii) Différentions (5.5.33) en a = 0. Nous obtenons que
E n (T n−1 ) =
λ n
μ n
E n+1 (T n ) +
1
μ n
, n ≥ 1.
Comme dans la preuve du Théorème 5.5.5, nous étudions tout d’abord le cas particulier
où λ N = 0. Nous avons E N (T N −1 ) =
1
μ N
et une simple induction donne
E n (T n−1 ) =
1
μ n
+
N
i=n+1
λ n . . . λ i−1
μ n . . . μ i
.
Nous en déduisons que E 1 (T 0 ) =
N
k=1 π k et en écrivant E n (T 0 ) =
n
k=1 E k (T k−1 ), nous
obtenons
E n (T 0 ) =
N
k=1
π k +
n−1
k=1
1
λ k π k
N
i=k+1
π i .
Pour le cas général, soit N > n. Le processus est continu à droite et limité à gauche et
grâce à (5.5.32), le processus n’explose pas en temps fini et T 0 est fini presque-sûrement,
quelque soit la condition initiale. Ainsi sup t≥0 X t < +∞ P n -p.s. et T N = +∞ pour N
assez grand. Le théorème de convergence monotone donne alors
E n (T 0 ; T 0 ≤ T N ) −→ N →∞ E n (T 0 ).
Considérons alors un processus de naissance et mort X
N avec taux de naissance et mort
(λ
N
k , μ
N
k ; k ≥ 0) tels que (λ
N
k , μ
N
k ) = (λ k , μ k ) pour k = N et λ
N
N = 0, μ
N
N = μ N .
Puisque (X t , t ≤ T N ) et (X
N
t , t ≤ T
N
N ) ont même loi sous P n , nous avons
E n (T 0 ; T 0 ≤ T N ) = E n
T
N
0 ; T
N
0 ≤ T
N
N
,
ce qui entraîne
E n (T 0 ) = lim
N →∞
E n
T
N
0 ; T
N
0 ≤ T
N
N
≤ lim
N →∞
E n
T
N
0
,
où la convergence du dernier terme est due à la monotonicité stochastique de T
N
0 par
rapport à N sous P n . Utilisant maintenant que T
N
0 est stochastiquement inférieur à T 0
sous P n , nous avons également
E n (T 0 ) ≥ E n (T
N
0 ).
Finalement,
E n (T 0 ) = lim
N →∞
E n (T
N
0 ) = lim
N →∞
N
k=1
π k +
n−1
k=1
1
λ k π k
N
i=k+1
π i ,
ce qui conclut la preuve.
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