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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Revenons au cas général et supposons que la série
∞
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
diverge. Le temps d’extinction T 0 est bien défini et nous souhaitons calculer ses moments. Nous utilisons les
notations classiques (cf [46])
π 1 =
1
μ 1
; π n =
λ 1 . . . λ n−1
μ 1 . . . μ n
∀n ≥ 2.
Introduisons également la suite des temps de passage T n du processus aux états n. Puisque
T 0 est fini presque-sûrement, nous pouvons assurer que T n sera également fini p.s. dès lors
que le processus est issu d’une condition initiale supérieure à n.
Proposition 5.5.6 Supposons que
∞
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
=
n
1
λ n π n
= +∞.
(5.5.32)
Alors
(i) pour tout a > 0 et n ≥ 1,
G n (a) = E n+1 (exp(−aT n )) = 1 +
μ n + a
λ n
−
μ n
λ n
1
G n−1 (a)
.
(5.5.33)
(ii) E 1 (T 0 ) =
k≥1 π k et pour tout n ≥ 2,
E n (T 0 ) =
k≥1
π k +
n−1
k=1
1
λ k π k
i≥k+1
π i =
n−1
k=1
i≥k+1
λ k+1 . . . λ i−1
μ k+1 . . . μ i
.
(5.5.34)
Preuve. (i) Soit τ n une variable aléatoire de même loi que T n sous P n+1 et considérons
la transformée de Laplace de τ n . Suivant [4, p. 264] et grâce à la propriété de Markov et
au Corollaire 5.3.5, nous pouvons écrire
τ n−1
(d)
= {Yn=−1} E n + {Yn=1}
E n + τ n + τ
n−1
où Y n , E n , τ
n−1 et τ n sont des variables aléatoires indépendantes, E n suit une loi exponentielle de paramètre λ n + μ n , τ
n−1 est distribuée comme τ n−1 et P(Y n = 1) = 1 − P(Y n =
−1) = λ n /(λ n + μ n ). Nous en déduisons
G n−1 (a) =
λ n + μ n
a + λ n + μ n
G n (a)G n−1 (a)
λ n
λ n + μ n
+
μ n
λ n + μ n
et (5.5.33) suit.
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