5.5. PROCESSUS DE NAISSANCE ET MORT
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Le processus a une probabilité strictement positive de survivre, pour toute condition initiale
non nulle.
Preuve. Résolvons (5.5.30). Nous savons que u 0 = 1. Supposons tout d’abord que pour
un état N , λ N = 0 et λ i > 0 pour i < N. Définissons u
(N )
i
= P i (T 0 < T N ), où T N est le
temps d’atteinte de N . Alors u
N
0 = 1 et u
N
N = 0. Posons
U N =
N −1
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
.
Des calculs élémentaires utilisant (5.5.30) montrent que pour i ∈ {1, · · · , N − 1}
u
(N )
i
= (1 + U N )
−1
N −1
k=i
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
et en particulier u
(N )
1
=
U N
1 + U N
.
Pour prouver le cas général, faisons tendre N vers l’infini en supposant que λ i > 0 pour
tout i. Il est immédiat de remarquer que u
(N )
i
converge alors vers u i . Il y aura alors extinction presque sûrement en temps fini ou non, suivant que la série
∞
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
diverge
ou non.
Application du Théorème 5.5.5 au processus de branchement binaire (processus
de naissance et mort linéaire). Chaque individu naît à taux b (λ i = bi) et meurt à taux
d (μ i = di).
En appliquant les résultats précédents, nous voyons que quand b ≤ d, i.e. quand le
processus est sous-critique ou critique, la suite (U N ) N tend vers l’infini quand N → +∞
et on a extinction avec probabilité 1. Si en revanche b > d, la suite (U N ) N converge vers
d
b−d
et un calcul simple montre que u i = (d/b)
i . Nous retrouvons ainsi le résultat obtenu
dans le Paragraphe 5.4.5.
Application du Théorème 5.5.5 au processus de naissance et mort logistique
Supposons ici que les taux de naissance et de mort valent
λ i = λi ; μ i = μi + ci(i − 1).
(5.5.31)
Le paramètre c modélise la pression de compétition entre deux individus. Il est facile de
montrer (par le critère de d’Alembert) que dans ce cas, la série
∞
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
diverge,
conduisant à l’extinction presque-sûre du processus.
Ainsi, la compétition entre les individus rend l’extinction inévitable.
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Le processus a une probabilité strictement positive de survivre, pour toute condition initiale
non nulle.
Preuve. Résolvons (5.5.30). Nous savons que u 0 = 1. Supposons tout d’abord que pour
un état N , λ N = 0 et λ i > 0 pour i < N. Définissons u
(N )
i
= P i (T 0 < T N ), où T N est le
temps d’atteinte de N . Alors u
N
0 = 1 et u
N
N = 0. Posons
U N =
N −1
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
.
Des calculs élémentaires utilisant (5.5.30) montrent que pour i ∈ {1, · · · , N − 1}
u
(N )
i
= (1 + U N )
−1
N −1
k=i
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
et en particulier u
(N )
1
=
U N
1 + U N
.
Pour prouver le cas général, faisons tendre N vers l’infini en supposant que λ i > 0 pour
tout i. Il est immédiat de remarquer que u
(N )
i
converge alors vers u i . Il y aura alors extinction presque sûrement en temps fini ou non, suivant que la série
∞
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
diverge
ou non.
Application du Théorème 5.5.5 au processus de branchement binaire (processus
de naissance et mort linéaire). Chaque individu naît à taux b (λ i = bi) et meurt à taux
d (μ i = di).
En appliquant les résultats précédents, nous voyons que quand b ≤ d, i.e. quand le
processus est sous-critique ou critique, la suite (U N ) N tend vers l’infini quand N → +∞
et on a extinction avec probabilité 1. Si en revanche b > d, la suite (U N ) N converge vers
d
b−d
et un calcul simple montre que u i = (d/b)
i . Nous retrouvons ainsi le résultat obtenu
dans le Paragraphe 5.4.5.
Application du Théorème 5.5.5 au processus de naissance et mort logistique
Supposons ici que les taux de naissance et de mort valent
λ i = λi ; μ i = μi + ci(i − 1).
(5.5.31)
Le paramètre c modélise la pression de compétition entre deux individus. Il est facile de
montrer (par le critère de d’Alembert) que dans ce cas, la série
∞
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
diverge,
conduisant à l’extinction presque-sûre du processus.
Ainsi, la compétition entre les individus rend l’extinction inévitable.
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