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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
d p j
dt
(t) = λ j−1 p j−1 (t) + μ j+1 p j+1 (t) − (λ j + μ j ) p j (t).
(5.5.29)
Cette équation décrit la dynamique de la loi du processus au temps t. Elle peut permettre
en particulier de trouver une solution stationnaire quand il y en a une. Cela revient à
trouver une famille (π j ) j de nombres compris entre 0 et 1 tels que
j π j < +∞ et pour
tout j,
λ j−1 π j−1 + μ j+1 π j+1 − (λ j + μ j ) π j = 0.
5.5.3 Critère d’extinction - Temps d’extinction
Nous supposons ici que le processus est défini sur tout R + et nous nous intéressons à
la probabilité que le processus atteigne 0 en partant d’une condition initiale strictement
positive. Certains des calculs de cette section peuvent être trouvés dans [46] ou dans [2]
et ils sont développés rigoureusement dans [9].
Soit T 0 le temps d’atteinte de 0 par le processus de naissance et mort,
T 0 = inf{t ≥ 0, X t = 0},
avec la convention {T 0 = +∞} si cet état n’est jamais atteint. Posons u i = P i (T 0 < +∞)
la probabilité d’extinction en temps fini, pour un processus issu de l’état i. On a u 0 = 1.
En conditionnant par le premier saut X T1 − X 0 ∈ {−1, +1} du processus, nous obtenons
la relation de récurrence suivante : pour tout i ≥ 1,
λ i u i+1 − (λ i + μ i )u i + μ i u i−1 = 0.
(5.5.30)
Cette équation peut également être obtenue à partir de l’équation de Kolmogorov rétrograde (5.5.28). En effet, u i = P i (∃t > 0, X t = 0) = P i (∪ t {X t = 0}) = lim t→∞ P i,0 (t),
et
dP i,0
dt
(t) = μ i P i−1,0 (t) + λ i P i+1,0 (t) − (λ i + μ i )P i,0 (t).
Théorème 5.5.5 (i) Si
∞
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
= +∞, alors les probabilités d’extinction u i sont
égales à 1. Ainsi le processus de naissance et mort s’éteint presque-sûrement en temps fini
pour toute condition initiale non nulle.
(ii) Si
∞
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
= U ∞ < +∞, alors pour i ≥ 1,
u i = (1 + U ∞ )
−1
∞
k=i
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
d p j
dt
(t) = λ j−1 p j−1 (t) + μ j+1 p j+1 (t) − (λ j + μ j ) p j (t).
(5.5.29)
Cette équation décrit la dynamique de la loi du processus au temps t. Elle peut permettre
en particulier de trouver une solution stationnaire quand il y en a une. Cela revient à
trouver une famille (π j ) j de nombres compris entre 0 et 1 tels que
j π j < +∞ et pour
tout j,
λ j−1 π j−1 + μ j+1 π j+1 − (λ j + μ j ) π j = 0.
5.5.3 Critère d’extinction - Temps d’extinction
Nous supposons ici que le processus est défini sur tout R + et nous nous intéressons à
la probabilité que le processus atteigne 0 en partant d’une condition initiale strictement
positive. Certains des calculs de cette section peuvent être trouvés dans [46] ou dans [2]
et ils sont développés rigoureusement dans [9].
Soit T 0 le temps d’atteinte de 0 par le processus de naissance et mort,
T 0 = inf{t ≥ 0, X t = 0},
avec la convention {T 0 = +∞} si cet état n’est jamais atteint. Posons u i = P i (T 0 < +∞)
la probabilité d’extinction en temps fini, pour un processus issu de l’état i. On a u 0 = 1.
En conditionnant par le premier saut X T1 − X 0 ∈ {−1, +1} du processus, nous obtenons
la relation de récurrence suivante : pour tout i ≥ 1,
λ i u i+1 − (λ i + μ i )u i + μ i u i−1 = 0.
(5.5.30)
Cette équation peut également être obtenue à partir de l’équation de Kolmogorov rétrograde (5.5.28). En effet, u i = P i (∃t > 0, X t = 0) = P i (∪ t {X t = 0}) = lim t→∞ P i,0 (t),
et
dP i,0
dt
(t) = μ i P i−1,0 (t) + λ i P i+1,0 (t) − (λ i + μ i )P i,0 (t).
Théorème 5.5.5 (i) Si
∞
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
= +∞, alors les probabilités d’extinction u i sont
égales à 1. Ainsi le processus de naissance et mort s’éteint presque-sûrement en temps fini
pour toute condition initiale non nulle.
(ii) Si
∞
k=1
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
= U ∞ < +∞, alors pour i ≥ 1,
u i = (1 + U ∞ )
−1
∞
k=i
μ 1 · · · μ k
λ 1 · · · λ k
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