Chapitre 2
Populations spatiales et temps discret
The mathematics is not there till we put it there. Sir Arthur Eddington (1882 - 1944),
The Philosophy of Physical Science.
Dans ce chapitre, nous modélisons une dynamique aléatoire par un processus aléatoire
(X n ) n∈N indexé par le temps discret. Nous introduirons deux classes de modèles qui
prennent en compte des structures de dépendance différentes et qui généralisent les suites
de variables aléatoires indépendantes : les chaînes de Markov et les martingales à temps
discret. Ces deux classes se rejoignent dans l’étude des marches aléatoires, qui constituent
un prototype de ce chapitre. Une motivation importante sera la modélisation de dynamiques spatiales mais nous verrons également des modèles de dynamiques de taille de
population.
2.1 Marches aléatoires et chaînes de Markov
Nous rappelons les principales propriétés des marches aléatoires et des chaînes de Markov
à temps discret, en privilégiant des problématiques propres aux modèles de populations.
Pour plus de détails, nous renvoyons aux ouvrages suivants, [36], [62] et [30].
Le modèle aléatoire le plus simple pour décrire le déplacement au hasard d’un individu
est celui d’une marche aléatoire sur le réseau Z
d . Le temps est discret. L’individu, à partir
d’un point x = (x 1 , . . . , x d ) peut aller vers un autre point du réseau avec une certaine
probabilité. Les déplacements successifs de l’individu sont indépendants les uns des autres.
Plus précisément, on note X n la position de l’individu à l’instant n, et Z n = X n − X n−1
son n-ième déplacement.
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
S. Méléard, Modèles aléatoires en Ecologie et Evolution,
Mathématiques et Applications 77, DOI 10.1007/978-3-662-49455-4_2
9
Populations spatiales et temps discret
The mathematics is not there till we put it there. Sir Arthur Eddington (1882 - 1944),
The Philosophy of Physical Science.
Dans ce chapitre, nous modélisons une dynamique aléatoire par un processus aléatoire
(X n ) n∈N indexé par le temps discret. Nous introduirons deux classes de modèles qui
prennent en compte des structures de dépendance différentes et qui généralisent les suites
de variables aléatoires indépendantes : les chaînes de Markov et les martingales à temps
discret. Ces deux classes se rejoignent dans l’étude des marches aléatoires, qui constituent
un prototype de ce chapitre. Une motivation importante sera la modélisation de dynamiques spatiales mais nous verrons également des modèles de dynamiques de taille de
population.
2.1 Marches aléatoires et chaînes de Markov
Nous rappelons les principales propriétés des marches aléatoires et des chaînes de Markov
à temps discret, en privilégiant des problématiques propres aux modèles de populations.
Pour plus de détails, nous renvoyons aux ouvrages suivants, [36], [62] et [30].
Le modèle aléatoire le plus simple pour décrire le déplacement au hasard d’un individu
est celui d’une marche aléatoire sur le réseau Z
d . Le temps est discret. L’individu, à partir
d’un point x = (x 1 , . . . , x d ) peut aller vers un autre point du réseau avec une certaine
probabilité. Les déplacements successifs de l’individu sont indépendants les uns des autres.
Plus précisément, on note X n la position de l’individu à l’instant n, et Z n = X n − X n−1
son n-ième déplacement.
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
S. Méléard, Modèles aléatoires en Ecologie et Evolution,
Mathématiques et Applications 77, DOI 10.1007/978-3-662-49455-4_2
9