CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
Définition 2.1.1 La suite de variables aléatoires (X n ) n∈N est appelée marche aléatoire
sur le réseau Z
d si
X n = X 0 +
n
k=1
Z k ,
et les déplacements successifs Z k ∈ Z
d sont indépendants et de même loi. Si chaque
déplacement ne peut se faire que vers l’un de ses proches voisins, la marche aléatoire est
dite simple. Si de plus les déplacements vers chacun des voisins immédiats se font avec la
même probabilité
1
2d
, la marche est dite symétrique.
La figure 2.1 montre des simulations de marches aléatoires simples symétriques en dimensions 1 et 2. Dans le premier cas, la marche peut avancer ou reculer d’une amplitude 1
avec probabilité
1
2
. Dans le deuxième cas, l’individu pourra sauter vers l’un de ses voisins
immédiats avec probabilité uniforme
1
4
.
Une marche aléatoire vérifie les deux propriétés fondamentales suivantes :
• Pour tous n et k dans N, la variable aléatoire X n+k −X n est indépendante de X n , X n−1 , . . . , X 0 .
• Pour tous n et k, X n+k − X n a même loi que X k − X 0 .
Les accroissements de la marche aléatoire sont donc indépendants et stationnaires.
Définition 2.1.2 Nous dirons plus généralement qu’un processus (X n ) n∈N est un processus à acroissements indépendants et stationnaires (noté plus simplement PAIS) si pour
tous entiers 0 ≤ n 1 < n 2 < · · · < n k , les variables aléatoires (X n1 , X n2 − X n1 , . . . , X n k −
X n k−1 ) sont indépendantes et si X n2 − X n1 a même loi que X n2−n1 − X 0 .
Figure 2.1 – Marches aléatoires en dimension 1 et en dimension 2
Remarque 2.1.3 Dans cet ouvrage, nous allons essentiellement nous limiter aux marches
aléatoires en dimension un qui peuvent en particulier décrire des déplacements spatiaux
ou des dynamiques de taille de population. Dans la suite de ce chapitre, l’espace d’état
considéré sera Z.
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Définition 2.1.1 La suite de variables aléatoires (X n ) n∈N est appelée marche aléatoire
sur le réseau Z
d si
X n = X 0 +
n
k=1
Z k ,
et les déplacements successifs Z k ∈ Z
d sont indépendants et de même loi. Si chaque
déplacement ne peut se faire que vers l’un de ses proches voisins, la marche aléatoire est
dite simple. Si de plus les déplacements vers chacun des voisins immédiats se font avec la
même probabilité
1
2d
, la marche est dite symétrique.
La figure 2.1 montre des simulations de marches aléatoires simples symétriques en dimensions 1 et 2. Dans le premier cas, la marche peut avancer ou reculer d’une amplitude 1
avec probabilité
1
2
. Dans le deuxième cas, l’individu pourra sauter vers l’un de ses voisins
immédiats avec probabilité uniforme
1
4
.
Une marche aléatoire vérifie les deux propriétés fondamentales suivantes :
• Pour tous n et k dans N, la variable aléatoire X n+k −X n est indépendante de X n , X n−1 , . . . , X 0 .
• Pour tous n et k, X n+k − X n a même loi que X k − X 0 .
Les accroissements de la marche aléatoire sont donc indépendants et stationnaires.
Définition 2.1.2 Nous dirons plus généralement qu’un processus (X n ) n∈N est un processus à acroissements indépendants et stationnaires (noté plus simplement PAIS) si pour
tous entiers 0 ≤ n 1 < n 2 < · · · < n k , les variables aléatoires (X n1 , X n2 − X n1 , . . . , X n k −
X n k−1 ) sont indépendantes et si X n2 − X n1 a même loi que X n2−n1 − X 0 .
Figure 2.1 – Marches aléatoires en dimension 1 et en dimension 2
Remarque 2.1.3 Dans cet ouvrage, nous allons essentiellement nous limiter aux marches
aléatoires en dimension un qui peuvent en particulier décrire des déplacements spatiaux
ou des dynamiques de taille de population. Dans la suite de ce chapitre, l’espace d’état
considéré sera Z.
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