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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Nous en déduisons que
E i
exp
−
n+1
k=1
S k
|S 1
=
j =i
Q i,j
q i
E j
exp
−
n
k=1
S k
E i
exp(−S 1 )
et que pour tout n,
h
(n+1)
i
=
j =i
Q i,j
q i
h
(n)
j
E i
exp(−S 1 )
.
De plus, comme
E i
exp(−S 1 )
=
∞
0
q i e
−qis e
−s ds =
q i
1 + q i
,
nous en déduisons finalement que
h
(n+1)
i
=
j =i
Q i,j
1 + q i
h
(n)
j .
(5.5.26)
Soit (x i ) i une solution de Qx = x, positive et bornée par 1. Nous avons h
(0)
i = 1 ≥ x i , et
grâce à la formule précédente, nous en déduisons facilement par récurrence que pour tout
i et pour tout n ∈ N, h
(n)
i
≥ x i ≥ 0. En effet, si h
(n)
j
≥ x j , on a h
(n+1)
i
≥
j =i
Q i,j
1 + q i
x j .
Comme x est solution de Qx = x, il vérifie x i =
j Q i,j x j = Q i,i x i +
j =i Q i,j x j =
−q i x i +
j =i Q i,j x j , d’où
j =i
Qi,j
1+qi
x j = x i , et h
(n+1)
i
≥ x i .
Si le processus n’explose pas presque-sûrement, on a T ∞ = +∞ p.s., et lim n h
(n)
i
= 0. En
faisant tendre n vers l’infini dans l’inégalité précédente, nous en déduisons que x i = 0.
Ainsi, dans ce cas, la seule solution positive bornée de Qx = x est la solution nulle.
Supposons maintenant que le processus explose avec probabilité strictement positive. Soit
z i = E i (e
−T∞ ). Il existe i avec P i (T ∞ < +∞) > 0 et pour cet entier i, z i > 0. Un passage à
la limite utilisant T ∞ = lim n T n et T n =
n
k=1 S k justifie que z j = lim n h
(n)
j . La formule
(5.5.26) nous permet alors de conclure que pour l’entier i tel que z i > 0, z i =
j =i
Q i,j
1 + q i
z j .
Nous avons obtenu une solution z de l’équation Qz = z, positive et bornée, avec z i > 0,
et exhibé ainsi une solution non triviale et bornée à l’équation.
Appliquons ce résultat au processus de naissance et mort. Supposons que λ i > 0 pour
i ∈ N
∗ , et λ 0 = μ 0 = 0. Soit (x i ) i∈N une solution de l’équation Qx = x. Introduisons pour
n ≥ 1, Δ n = x n − x n−1 , et r n =
1
λ n
+
n−1
k=1
μ k+1 · · · μ n
λ k λ k+1 · · · λ n
+
μ 1 · · · μ n
λ 1 · · · λ n
.
L’équation Qx = x sera ici donnée par x 0 = 0 et pour tout n ≥ 1 par
λ n x n+1 − (λ n + μ n )x n + μ n x n−1 = x n .
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Nous en déduisons que
E i
exp
−
n+1
k=1
S k
|S 1
=
j =i
Q i,j
q i
E j
exp
−
n
k=1
S k
E i
exp(−S 1 )
et que pour tout n,
h
(n+1)
i
=
j =i
Q i,j
q i
h
(n)
j
E i
exp(−S 1 )
.
De plus, comme
E i
exp(−S 1 )
=
∞
0
q i e
−qis e
−s ds =
q i
1 + q i
,
nous en déduisons finalement que
h
(n+1)
i
=
j =i
Q i,j
1 + q i
h
(n)
j .
(5.5.26)
Soit (x i ) i une solution de Qx = x, positive et bornée par 1. Nous avons h
(0)
i = 1 ≥ x i , et
grâce à la formule précédente, nous en déduisons facilement par récurrence que pour tout
i et pour tout n ∈ N, h
(n)
i
≥ x i ≥ 0. En effet, si h
(n)
j
≥ x j , on a h
(n+1)
i
≥
j =i
Q i,j
1 + q i
x j .
Comme x est solution de Qx = x, il vérifie x i =
j Q i,j x j = Q i,i x i +
j =i Q i,j x j =
−q i x i +
j =i Q i,j x j , d’où
j =i
Qi,j
1+qi
x j = x i , et h
(n+1)
i
≥ x i .
Si le processus n’explose pas presque-sûrement, on a T ∞ = +∞ p.s., et lim n h
(n)
i
= 0. En
faisant tendre n vers l’infini dans l’inégalité précédente, nous en déduisons que x i = 0.
Ainsi, dans ce cas, la seule solution positive bornée de Qx = x est la solution nulle.
Supposons maintenant que le processus explose avec probabilité strictement positive. Soit
z i = E i (e
−T∞ ). Il existe i avec P i (T ∞ < +∞) > 0 et pour cet entier i, z i > 0. Un passage à
la limite utilisant T ∞ = lim n T n et T n =
n
k=1 S k justifie que z j = lim n h
(n)
j . La formule
(5.5.26) nous permet alors de conclure que pour l’entier i tel que z i > 0, z i =
j =i
Q i,j
1 + q i
z j .
Nous avons obtenu une solution z de l’équation Qz = z, positive et bornée, avec z i > 0,
et exhibé ainsi une solution non triviale et bornée à l’équation.
Appliquons ce résultat au processus de naissance et mort. Supposons que λ i > 0 pour
i ∈ N
∗ , et λ 0 = μ 0 = 0. Soit (x i ) i∈N une solution de l’équation Qx = x. Introduisons pour
n ≥ 1, Δ n = x n − x n−1 , et r n =
1
λ n
+
n−1
k=1
μ k+1 · · · μ n
λ k λ k+1 · · · λ n
+
μ 1 · · · μ n
λ 1 · · · λ n
.
L’équation Qx = x sera ici donnée par x 0 = 0 et pour tout n ≥ 1 par
λ n x n+1 − (λ n + μ n )x n + μ n x n−1 = x n .
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