5.5. PROCESSUS DE NAISSANCE ET MORT
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Remarquons que s’il existe I ∈ N
∗ avec λ I = 0 alors la taille de la population ne pourra
dépasser I et le processus restera borné. Si le taux de naissance croit trop vite par rapport
au taux de mort, il se pourrait que le processus explose très vite. Le théorème suivant
caractérise la non-explosion du processus en temps fini, par un rapport subtil entre les
taux de naissance et les taux de mort. Si tel est le cas, nous pourrons définir le processus
pour tout temps t ∈ R + .
Théorème 5.5.2 Supposons que λ i > 0 pour tout i ≥ 1. Alors le processus de naissance
et mort a un temps de vie infini presque-sûrement si et seulement si
R :=
i≥1
1
λ i
+
μ i
λ i λ i−1
+ · · · +
μ i · · · μ 2
λ i · · · λ 2 λ 1
est infini .
Corollaire 5.5.3 Si pour tout i, λ i ≤ λ i, avec λ > 0, le processus est bien défini sur tout
R + .
Remarque 5.5.4 On peut vérifier que les 4 processus de naissance et mort mentionnés
dans les exemples satisfont cette propriété et ont donc un temps de vie infini presquesûrement.
Preuve. Soit (T n ) n la suite des temps de saut du processus et (S n ) n la suite des temps
entre les sauts,
S n = T n − T n−1 , ∀n ≥ 1; T 0 = 0, S 0 = 0.
On note T ∞ = lim n T n . Le processus n’explose pas presque-sûrement et est bien défini sur
tout R + si et seulement si pour tout i ∈ N, P i (T ∞ < +∞) = 0.
Nous allons montrer que le processus n’explose pas presque-sûrement si et seulement si
la seule solution x = (x i ) i∈N positive et bornée de Q x = x est la solution nulle et nous
verrons que c’est équivalent au critère de non-explosion pour les processus de naissance
et mort.
Pour tout i, on pose h
(0)
i = 1 et pour n ∈ N
∗ , h
(n)
i
= E i
exp(−
n
k=1 S k )
. Soit q i = λ i +μ i .
La propriété de Markov entraîne que
E i
exp
−
n+1
k=1
S k
|S 1
= E i
exp(−S 1 ) exp
−
n+1
k=2
S k
|S 1
= E i
exp(−S 1 ) E X S 1
exp
−
n
k=1
S k
,
car pour le processus translaté de S 1 , les nouveaux temps de sauts sont les T n − S 1 . On
a alors
E
E XS 1
exp
−
n
k=1
S k
=
j =i
P i (X S1 = j) E j
exp
−
n
k=1
S k
=
j =i
Q i,j
q i
E j
exp
−
n
k=1
S k
.
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Remarquons que s’il existe I ∈ N
∗ avec λ I = 0 alors la taille de la population ne pourra
dépasser I et le processus restera borné. Si le taux de naissance croit trop vite par rapport
au taux de mort, il se pourrait que le processus explose très vite. Le théorème suivant
caractérise la non-explosion du processus en temps fini, par un rapport subtil entre les
taux de naissance et les taux de mort. Si tel est le cas, nous pourrons définir le processus
pour tout temps t ∈ R + .
Théorème 5.5.2 Supposons que λ i > 0 pour tout i ≥ 1. Alors le processus de naissance
et mort a un temps de vie infini presque-sûrement si et seulement si
R :=
i≥1
1
λ i
+
μ i
λ i λ i−1
+ · · · +
μ i · · · μ 2
λ i · · · λ 2 λ 1
est infini .
Corollaire 5.5.3 Si pour tout i, λ i ≤ λ i, avec λ > 0, le processus est bien défini sur tout
R + .
Remarque 5.5.4 On peut vérifier que les 4 processus de naissance et mort mentionnés
dans les exemples satisfont cette propriété et ont donc un temps de vie infini presquesûrement.
Preuve. Soit (T n ) n la suite des temps de saut du processus et (S n ) n la suite des temps
entre les sauts,
S n = T n − T n−1 , ∀n ≥ 1; T 0 = 0, S 0 = 0.
On note T ∞ = lim n T n . Le processus n’explose pas presque-sûrement et est bien défini sur
tout R + si et seulement si pour tout i ∈ N, P i (T ∞ < +∞) = 0.
Nous allons montrer que le processus n’explose pas presque-sûrement si et seulement si
la seule solution x = (x i ) i∈N positive et bornée de Q x = x est la solution nulle et nous
verrons que c’est équivalent au critère de non-explosion pour les processus de naissance
et mort.
Pour tout i, on pose h
(0)
i = 1 et pour n ∈ N
∗ , h
(n)
i
= E i
exp(−
n
k=1 S k )
. Soit q i = λ i +μ i .
La propriété de Markov entraîne que
E i
exp
−
n+1
k=1
S k
|S 1
= E i
exp(−S 1 ) exp
−
n+1
k=2
S k
|S 1
= E i
exp(−S 1 ) E X S 1
exp
−
n
k=1
S k
,
car pour le processus translaté de S 1 , les nouveaux temps de sauts sont les T n − S 1 . On
a alors
E
E XS 1
exp
−
n
k=1
S k
=
j =i
P i (X S1 = j) E j
exp
−
n
k=1
S k
=
j =i
Q i,j
q i
E j
exp
−
n
k=1
S k
.
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