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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Un tel processus est donc une généralisation d’un processus de branchement binaire,
puisqu’a priori, les taux λ i et μ i sont des fonctions positives très générales de l’état de la
population i. La dépendance en l’état instantané de la population fait que l’on perd la
propriété d’indépendance et la propriété de branchement. Ce modèle est un premier pas
pour prendre en compte l’interaction entre les individus.
Le générateur infinitésimal vaut
Q i,i+1 = λ i , Q i,i−1 = μ i , Q i,j = 0 sinon.
Le taux global de saut pour une population de taille i vaut λ i + μ i . Ainsi après un temps
de loi exponentielle de paramètre λ i + μ i , le processus augmente de 1 avec probabilité
λ i
λ i + μ i
et décroît de −1 avec probabilité
μ i
λ i + μ i
. Si λ i + μ i = 0, le processus est absorbé
en i.
Nous pouvons écrire la matrice du générateur Q = (Q i,j ).
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
μ 1 −(λ 1 + μ 1 )
λ 1
0
0 · · ·
0
μ 2
−(λ 2 + μ 2 )
λ 2
0 · · ·
0
0
μ 3
−(λ 3 + μ 3 ) λ 3 · · ·
· · ·
· · ·
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Par le théorème 5.3.2, nous avons
P i,i+1 (h) = λ i h + o(h) ; P i,i−1 (h) = μ i h + o(h) ; P i,i (h) = 1 − (λ i + μ i ) h + o(h).
Exemples :
1) Le processus de Yule correspond à λ i = iλ, μ i = 0.
2) Le processus de branchement ou de naissance et mort linéaire correspond à λ i =
iλ, μ i = iμ.
3) Le processus de naissance et mort avec immigration à λ i = iλ + ρ, μ i = iμ.
4) Le processus de naissance et mort logistique à λ i = iλ, μ i = iμ + c i(i − 1).
Les taux de naissance peuvent dépendre de i de bien des manières différentes. Par exemple
un phénomène de coopération pourra se traduire par une dépendance quadratique de λ i
en i. L’effet Allee (cf. [50]) décrit un modèle de croissance quand la population est petite
(taux de naissance quadratique en i) et de décroissance quand la population est grande
(taux de mort cubique) de telle sorte que
λ i − μ i = r i
1 −
i
K
i − A
K
.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Un tel processus est donc une généralisation d’un processus de branchement binaire,
puisqu’a priori, les taux λ i et μ i sont des fonctions positives très générales de l’état de la
population i. La dépendance en l’état instantané de la population fait que l’on perd la
propriété d’indépendance et la propriété de branchement. Ce modèle est un premier pas
pour prendre en compte l’interaction entre les individus.
Le générateur infinitésimal vaut
Q i,i+1 = λ i , Q i,i−1 = μ i , Q i,j = 0 sinon.
Le taux global de saut pour une population de taille i vaut λ i + μ i . Ainsi après un temps
de loi exponentielle de paramètre λ i + μ i , le processus augmente de 1 avec probabilité
λ i
λ i + μ i
et décroît de −1 avec probabilité
μ i
λ i + μ i
. Si λ i + μ i = 0, le processus est absorbé
en i.
Nous pouvons écrire la matrice du générateur Q = (Q i,j ).
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
μ 1 −(λ 1 + μ 1 )
λ 1
0
0 · · ·
0
μ 2
−(λ 2 + μ 2 )
λ 2
0 · · ·
0
0
μ 3
−(λ 3 + μ 3 ) λ 3 · · ·
· · ·
· · ·
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Par le théorème 5.3.2, nous avons
P i,i+1 (h) = λ i h + o(h) ; P i,i−1 (h) = μ i h + o(h) ; P i,i (h) = 1 − (λ i + μ i ) h + o(h).
Exemples :
1) Le processus de Yule correspond à λ i = iλ, μ i = 0.
2) Le processus de branchement ou de naissance et mort linéaire correspond à λ i =
iλ, μ i = iμ.
3) Le processus de naissance et mort avec immigration à λ i = iλ + ρ, μ i = iμ.
4) Le processus de naissance et mort logistique à λ i = iλ, μ i = iμ + c i(i − 1).
Les taux de naissance peuvent dépendre de i de bien des manières différentes. Par exemple
un phénomène de coopération pourra se traduire par une dépendance quadratique de λ i
en i. L’effet Allee (cf. [50]) décrit un modèle de croissance quand la population est petite
(taux de naissance quadratique en i) et de décroissance quand la population est grande
(taux de mort cubique) de telle sorte que
λ i − μ i = r i
1 −
i
K
i − A
K
.
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