5.5. PROCESSUS DE NAISSANCE ET MORT
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Le processus de branchement avec immigration a les taux de transition :
i → i + k au taux i p k+1 + ν k
i → i − 1 au taux
i p 0 .
Croissance logistique :
Dans un modèle de population avec croissance logistique,
• Tous les individus présents dans la population se reproduisent et meurent de mort
naturelle indépendamment, suivant le schéma de branchement précédent. (p 0 est alors
appelé taux de mort naturelle ou intrinsèque).
• Un individu subit la pression des autres individus sur sa survie. Par exemple, les individus peuvent être en compétition pour le partage des ressources. Ainsi la probabilité
individuelle de survie va diminuer en fonction de la taille de la population, ce qui va se
traduire par un accroissement du taux de mort.
Si l’impact de la compétition entre deux individus est décrit par le paramètre c > 0, le
processus de population avec croissance logistique a alors les taux de transition :
i → i + k au taux
i p k+1
i → i − 1 au taux ip 0 + c i(i − 1).
Du fait de l’interaction, la propriété de branchement n’est plus satisfaite. Nous allons
développer dans le chapitre suivant l’étude des processus de branchement binaire avec
une croissance logistique ou plus généralement avec des taux de naissance et de mort
individuels dépendant de la taille de la population.
5.5 Processus de naissance et mort
5.5.1 Définition et critère de non-explosion
Définition 5.5.1 Un processus de naissance et mort est un processus markovien
de saut à valeurs dans N dont les amplitudes des sauts sont égales à ±1. Ses taux de
transition sont donnés par
i → i + 1 au taux λ i
i → i − 1 au taux μ i ,
avec (λ i ) i et (μ i ) i deux suites de réels positifs ou nuls, pour i ∈ N.
Remarquons que nécessairement μ 0 = 0.
Si la population est sans immigration, alors λ 0 = 0 et l’état 0 est absorbant.
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Le processus de branchement avec immigration a les taux de transition :
i → i + k au taux i p k+1 + ν k
i → i − 1 au taux
i p 0 .
Croissance logistique :
Dans un modèle de population avec croissance logistique,
• Tous les individus présents dans la population se reproduisent et meurent de mort
naturelle indépendamment, suivant le schéma de branchement précédent. (p 0 est alors
appelé taux de mort naturelle ou intrinsèque).
• Un individu subit la pression des autres individus sur sa survie. Par exemple, les individus peuvent être en compétition pour le partage des ressources. Ainsi la probabilité
individuelle de survie va diminuer en fonction de la taille de la population, ce qui va se
traduire par un accroissement du taux de mort.
Si l’impact de la compétition entre deux individus est décrit par le paramètre c > 0, le
processus de population avec croissance logistique a alors les taux de transition :
i → i + k au taux
i p k+1
i → i − 1 au taux ip 0 + c i(i − 1).
Du fait de l’interaction, la propriété de branchement n’est plus satisfaite. Nous allons
développer dans le chapitre suivant l’étude des processus de branchement binaire avec
une croissance logistique ou plus généralement avec des taux de naissance et de mort
individuels dépendant de la taille de la population.
5.5 Processus de naissance et mort
5.5.1 Définition et critère de non-explosion
Définition 5.5.1 Un processus de naissance et mort est un processus markovien
de saut à valeurs dans N dont les amplitudes des sauts sont égales à ±1. Ses taux de
transition sont donnés par
i → i + 1 au taux λ i
i → i − 1 au taux μ i ,
avec (λ i ) i et (μ i ) i deux suites de réels positifs ou nuls, pour i ∈ N.
Remarquons que nécessairement μ 0 = 0.
Si la population est sans immigration, alors λ 0 = 0 et l’état 0 est absorbant.
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