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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Dans le cas de reproduction binaire non critique où b = d,
u(s) = (1 − s)(d − bs). Nous en déduisons par une intégration immédiate que
F (s, t) = 1 −
(1 − s) (b − d)
(bs − d) e −(b−d)t + b (1 − s)
.
(5.4.25)
Rappelons que r = b − d. Nous savons que la probabilité q(t) = P 1 (T 0 ≤ t) vérifie
q(t) = F (0, t). Nous en déduisons que
q(t) =
⎧
⎨
⎩
d(e
rt
− 1)/(be
rt
− d) si b = d
bt/(1 + bt)
si b = d.
Nous pouvons en déduire la probabilité d’extinction lim t→∞ F (0, t).
Si r ≤ 0, cette limite vaut 1 et le processus s’éteint presque-sûrement.
Si r > 0, la probabilité de s’éteindre est s 0 =
d
b
.
Dans le Chapitre 5.5 concernant les processus de naissance et mort (fin du paragraphe
5.5.2), nous verrons de plus que le temps moyen d’extinction vaut
E 1 (T 0 ) =
1
b
log
1
1 − b/d
si b < d,
et est infini si b ≥ d.
Remarque 5.4.8 Dans le cas critique et en utilisant (5.4.22), nous savons que la moyenne
m(t) est constante alors que le processus s’éteint presque-sûrement. C’est un cas où les
hypothèses du théorème de convergence dominée ne sont pas vérifiées.
5.4.6 Extensions
Nous pouvons généraliser ce modèle et considérer des processus de branchement avec
immigration ou avec croissance logistique.
Immigration :
Soit ν = (ν k ) k∈N une mesure positive finie sur N, (∀k, ν k ≥ 0 et
k ν k < +∞), et soit
ρ =
k≥0 ν k . Dans ce modèle de branchement en temps continu avec immigration,
• au taux ρ, des groupes d’immigrants arrivent dans la population, indépendamment de
l’état de celle-ci.
• Un groupe est composé de k individus avec probabilité
ν k
ρ
.
• Tous les individus présents dans la population se reproduisent et meurent indépendamment suivant le schéma de branchement précédent.
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