5.4. PROCESSUS DE BRANCHEMENT EN TEMPS CONTINU
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et crée à chaque événement de naissance un unique descendant qui va suivre la même
dynamique, indépendamment de son ancêtre et de tout le passé.
Dans ce cas, la fonction génératrice de la loi de reproduction vaut g(s) = s
2 et l’équation
(5.4.20) devient pour chaque t > 0,
∂
∂t
F (s, t) = a
F (s, t)
2 − F (s, t)
avec F (s, 0) = s.
Un calcul élémentaire donne alors
F (s, t) =
s e
−at
1 − s (1 − e −at )
.
Nous reconnaissons la fonction génératrice d’une loi géométrique de paramètre e
−at . Nous
avons donc la proposition suivante.
Proposition 5.4.7 Soit un processus de Yule binaire, à taux a > 0 et issu d’un individu unique. Alors le nombre de particules au temps t a une distribution géométrique de
paramètre e
−at .
Le cas général
Supposons maintenant que p 0 + p 2 = 1, avec p 0 > 0 et p 2 > 0, c’est à dire qu’à un instant
de saut, soit l’individu meurt, soit il a un seul descendant. Ce modèle intègrera ainsi les
possibles morts de bactéries en plus de la division cellulaire.
Chaque individu a un taux de mort de paramètre d > 0 et un taux de reproduction de
paramètre b > 0. Dans ce cas, le taux total de saut a par individu vaut a = b + d et
la loi des sauts est définie ainsi : avec probabilité p 2 =
b
b+d
on a une naissance et avec
probabilité p 0 =
d
b+d
, on a une mort.
Nous avons alors m = 2p 2 =
2 b
b + d
et r = b − d est le taux de croissance. Le processus
sera donc surcritique (resp. critique ou sous-critique) si et seulement si r > 0, (resp. r = 0
ou r < 0).
La fonction u s’écrit alors u(s) = d − (b + d)s + bs
2 et s 0 = min(1,
d
b
). Dans le cas binaire
critique où b = d, u(s) = b(1 − s)
2 .
Remarquons que, puisque m < +∞, le processus n’explose pas presque-sûrement et
F (1, t) = 1.
Nous pouvons obtenir dans ce cas binaire une forme explicite de la fonction génératrice.
Calculons-la tout d’abord dans le cas critique. Par (5.4.20), elle vérifie
∂
∂t
F (s, t) = b (1 − F (s, t))
2 ; F (s, 0) = s,
d’où par un calcul élémentaire,
F (s, t) = 1 −
1 − s
1 + b t (1 − s)
.
(5.4.24)
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et crée à chaque événement de naissance un unique descendant qui va suivre la même
dynamique, indépendamment de son ancêtre et de tout le passé.
Dans ce cas, la fonction génératrice de la loi de reproduction vaut g(s) = s
2 et l’équation
(5.4.20) devient pour chaque t > 0,
∂
∂t
F (s, t) = a
F (s, t)
2 − F (s, t)
avec F (s, 0) = s.
Un calcul élémentaire donne alors
F (s, t) =
s e
−at
1 − s (1 − e −at )
.
Nous reconnaissons la fonction génératrice d’une loi géométrique de paramètre e
−at . Nous
avons donc la proposition suivante.
Proposition 5.4.7 Soit un processus de Yule binaire, à taux a > 0 et issu d’un individu unique. Alors le nombre de particules au temps t a une distribution géométrique de
paramètre e
−at .
Le cas général
Supposons maintenant que p 0 + p 2 = 1, avec p 0 > 0 et p 2 > 0, c’est à dire qu’à un instant
de saut, soit l’individu meurt, soit il a un seul descendant. Ce modèle intègrera ainsi les
possibles morts de bactéries en plus de la division cellulaire.
Chaque individu a un taux de mort de paramètre d > 0 et un taux de reproduction de
paramètre b > 0. Dans ce cas, le taux total de saut a par individu vaut a = b + d et
la loi des sauts est définie ainsi : avec probabilité p 2 =
b
b+d
on a une naissance et avec
probabilité p 0 =
d
b+d
, on a une mort.
Nous avons alors m = 2p 2 =
2 b
b + d
et r = b − d est le taux de croissance. Le processus
sera donc surcritique (resp. critique ou sous-critique) si et seulement si r > 0, (resp. r = 0
ou r < 0).
La fonction u s’écrit alors u(s) = d − (b + d)s + bs
2 et s 0 = min(1,
d
b
). Dans le cas binaire
critique où b = d, u(s) = b(1 − s)
2 .
Remarquons que, puisque m < +∞, le processus n’explose pas presque-sûrement et
F (1, t) = 1.
Nous pouvons obtenir dans ce cas binaire une forme explicite de la fonction génératrice.
Calculons-la tout d’abord dans le cas critique. Par (5.4.20), elle vérifie
∂
∂t
F (s, t) = b (1 − F (s, t))
2 ; F (s, 0) = s,
d’où par un calcul élémentaire,
F (s, t) = 1 −
1 − s
1 + b t (1 − s)
.
(5.4.24)
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