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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Le paramètre ρ = a (m − 1) est appelé paramètre de Malthus. Dans le cas sur-critique
où ρ > 0, m(t) tend vers l’infini ; dans le cas sous-critique où ρ < 0, m(t) tend vers 0. Si
ρ = 0, dans le le cas critique, la population reste constante en moyenne.
Probabilité d’extinction
Intéressons-nous maintenant à l’extinction éventuelle de la population. Notons T 0 le temps
d’extinction,
T 0 = inf{t ≥ 0, X t = 0},
toujours avec la convention inf ∅ = +∞, et introduisons alors la probabilité d’extinction
q(t) = P 1 (T 0 ≤ t), t ∈]0, +∞].
Théorème 5.4.6 La loi du temps d’extinction est donnée implicitement par
q(t)
0
ds
u(s)
= t , t ≥ 0.
Preuve. Les arguments de preuve sont proches de ceux du Théorème 5.4.5. Remarquons
que pour tout t > 0, q(t) = P 1 (X t = 0) = F (0, t) qui est une fonction bornée et croissante
en temps car l’état 0 est absorbant. Il est clair que q(0
+ ) = 0 et que lim t→∞ q(t) = s 0 ,
le plus petit point fixe de g. En effet, lim t→∞ q(t) = q ∞ est un point stationnaire pour
la dynamique définie par (5.4.20) et satisfait donc g(q ∞ ) = q ∞ . Ainsi q ∞ = 1 dans les
cas sous-critique et critique, et q ∞ = s 0 < 1 dans le cas surcritique. De (5.4.20), nous
déduisons également que
q
(t) = u(q(t)), t > 0,
(5.4.23)
avec q(t) ∈ [0, s 0 [. La fonction G(x) =
x
0
ds
u(s)
est bien définie pour x < s 0 . En effet, dans
ce cas, g(s) > s et u(s) = 0. Si nous intégrons (5.4.23), nous obtenons finalement que
G(q(t)) = t.
5.4.5 Le cas binaire
Cas du processus de Yule
Considérons tout d’abord le cas où chaque individu vit un temps exponentiel de paramètre
a > 0 avant de créer deux descendants, toutes les durées de vie étant indépendantes
les unes des autres (p 2 = 1). Ce modèle peut représenter une dynamique de bactéries
avec division cellulaire en temps continu. Il peut également représenter un mécanisme de
reproduction où un individu se reproduit suivant un processus de Poisson d’intensité a
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Le paramètre ρ = a (m − 1) est appelé paramètre de Malthus. Dans le cas sur-critique
où ρ > 0, m(t) tend vers l’infini ; dans le cas sous-critique où ρ < 0, m(t) tend vers 0. Si
ρ = 0, dans le le cas critique, la population reste constante en moyenne.
Probabilité d’extinction
Intéressons-nous maintenant à l’extinction éventuelle de la population. Notons T 0 le temps
d’extinction,
T 0 = inf{t ≥ 0, X t = 0},
toujours avec la convention inf ∅ = +∞, et introduisons alors la probabilité d’extinction
q(t) = P 1 (T 0 ≤ t), t ∈]0, +∞].
Théorème 5.4.6 La loi du temps d’extinction est donnée implicitement par
q(t)
0
ds
u(s)
= t , t ≥ 0.
Preuve. Les arguments de preuve sont proches de ceux du Théorème 5.4.5. Remarquons
que pour tout t > 0, q(t) = P 1 (X t = 0) = F (0, t) qui est une fonction bornée et croissante
en temps car l’état 0 est absorbant. Il est clair que q(0
+ ) = 0 et que lim t→∞ q(t) = s 0 ,
le plus petit point fixe de g. En effet, lim t→∞ q(t) = q ∞ est un point stationnaire pour
la dynamique définie par (5.4.20) et satisfait donc g(q ∞ ) = q ∞ . Ainsi q ∞ = 1 dans les
cas sous-critique et critique, et q ∞ = s 0 < 1 dans le cas surcritique. De (5.4.20), nous
déduisons également que
q
(t) = u(q(t)), t > 0,
(5.4.23)
avec q(t) ∈ [0, s 0 [. La fonction G(x) =
x
0
ds
u(s)
est bien définie pour x < s 0 . En effet, dans
ce cas, g(s) > s et u(s) = 0. Si nous intégrons (5.4.23), nous obtenons finalement que
G(q(t)) = t.
5.4.5 Le cas binaire
Cas du processus de Yule
Considérons tout d’abord le cas où chaque individu vit un temps exponentiel de paramètre
a > 0 avant de créer deux descendants, toutes les durées de vie étant indépendantes
les unes des autres (p 2 = 1). Ce modèle peut représenter une dynamique de bactéries
avec division cellulaire en temps continu. Il peut également représenter un mécanisme de
reproduction où un individu se reproduit suivant un processus de Poisson d’intensité a
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