5.4. PROCESSUS DE BRANCHEMENT EN TEMPS CONTINU
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Preuve. Soit h i (t) = P i (T ∞ > t) =
j≥0 P i (Z t = j). Par la propriété de branchement,
nous savons que 1 − h i (t) = 1 − h(t)
i , où h(t) = F (1, t). L’équation (5.4.20) pour s = 1
donne que
h
(t) = u(h(t)), t > 0.
(5.4.21)
Un point limite de la fonction h quand t tend vers l’infini est un point stationnaire de
l’équation (5.4.21) et donc un point fixe pour la fonction g. La fonction h est décroissante
et h(0) = 1, donc h(t) ≤ 1 pour tout t ≥ 0. Dans le cas où g n’a que le seul point fixe 1,
h est donc constante égale à 1 et P 1 (T ∞ = ∞) = lim t→∞ h(t) = 1.
Supposons maintenant que g admette un point fixe s 0 < 1. Remarquons que comme
h(0) = 1, la fonction h est positive et décroissante et h(t) ∈]s 0 , 1]. Supposons que le
processus de branchement ait un temps de vie T ∞ fini avec probabilité positive. Dans ce
cas h converge vers s 0 et il existe un temps t 0 tel que s 0 < h(t 0 ) < 1. Fixons v ∈]s 0 , 1[
et posons U (x) =
x
v
ds
u(s)
. Comme la fonction t − U (h(t)) est de dérivée nulle, elle est
constante, et t − U (h(t)) = t 0 − U (h(t 0 )) < +∞. En faisant tendre t vers 0, nous obtenons
que U (1
− ) a une valeur finie. Nous en déduisons que
1 ds
u(s)
est fini, ce qui entraîne que
m = +∞. (Par un développement limité de g(s) au voisinage de 1, on remarquera que si
m < +∞, l’intégrale diverge forcément).
Réciproquement, supposons que m = +∞ et que
1 ds
u(s)
converge. Nous pouvons alors
définir la fonction U (x) =
x
1
ds
u(s)
, pour x ∈]s 0 , 1]. En utilisant h
= u(h), nous obtenons
que t − U (h(t)) = 0, ce qui implique h(t) < 1 dès que t > 0.
5.4.4 Equation de moments - Probabilité et temps d’extinction
Equation de moments
Supposons que m < +∞. Supposons que l’espérance de X t existe pour tout t et que la
fonction F soit suffisamment régulière. Rappelons qu’alors m(t) = E(X t ) =
∂
∂s
F (s, t) |s=1 .
De (5.4.20), nous pouvons déduire une équation satisfaite par la fonction m. En effet
∂
∂t
E(X t ) =
∂
∂s
u(F (s, t)) |s=1 ,
et t → m(t) est solution de l’équation différentielle
m
(t) = u
(F (1, t)) m(t) = u
(1) m(t),
avec u
(1) = a (g
(1) − 1) = a (m − 1). Nous en déduisons que
m(t) = e
a (m−1)t E(X 0 ).
(5.4.22)
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Preuve. Soit h i (t) = P i (T ∞ > t) =
j≥0 P i (Z t = j). Par la propriété de branchement,
nous savons que 1 − h i (t) = 1 − h(t)
i , où h(t) = F (1, t). L’équation (5.4.20) pour s = 1
donne que
h
(t) = u(h(t)), t > 0.
(5.4.21)
Un point limite de la fonction h quand t tend vers l’infini est un point stationnaire de
l’équation (5.4.21) et donc un point fixe pour la fonction g. La fonction h est décroissante
et h(0) = 1, donc h(t) ≤ 1 pour tout t ≥ 0. Dans le cas où g n’a que le seul point fixe 1,
h est donc constante égale à 1 et P 1 (T ∞ = ∞) = lim t→∞ h(t) = 1.
Supposons maintenant que g admette un point fixe s 0 < 1. Remarquons que comme
h(0) = 1, la fonction h est positive et décroissante et h(t) ∈]s 0 , 1]. Supposons que le
processus de branchement ait un temps de vie T ∞ fini avec probabilité positive. Dans ce
cas h converge vers s 0 et il existe un temps t 0 tel que s 0 < h(t 0 ) < 1. Fixons v ∈]s 0 , 1[
et posons U (x) =
x
v
ds
u(s)
. Comme la fonction t − U (h(t)) est de dérivée nulle, elle est
constante, et t − U (h(t)) = t 0 − U (h(t 0 )) < +∞. En faisant tendre t vers 0, nous obtenons
que U (1
− ) a une valeur finie. Nous en déduisons que
1 ds
u(s)
est fini, ce qui entraîne que
m = +∞. (Par un développement limité de g(s) au voisinage de 1, on remarquera que si
m < +∞, l’intégrale diverge forcément).
Réciproquement, supposons que m = +∞ et que
1 ds
u(s)
converge. Nous pouvons alors
définir la fonction U (x) =
x
1
ds
u(s)
, pour x ∈]s 0 , 1]. En utilisant h
= u(h), nous obtenons
que t − U (h(t)) = 0, ce qui implique h(t) < 1 dès que t > 0.
5.4.4 Equation de moments - Probabilité et temps d’extinction
Equation de moments
Supposons que m < +∞. Supposons que l’espérance de X t existe pour tout t et que la
fonction F soit suffisamment régulière. Rappelons qu’alors m(t) = E(X t ) =
∂
∂s
F (s, t) |s=1 .
De (5.4.20), nous pouvons déduire une équation satisfaite par la fonction m. En effet
∂
∂t
E(X t ) =
∂
∂s
u(F (s, t)) |s=1 ,
et t → m(t) est solution de l’équation différentielle
m
(t) = u
(F (1, t)) m(t) = u
(1) m(t),
avec u
(1) = a (g
(1) − 1) = a (m − 1). Nous en déduisons que
m(t) = e
a (m−1)t E(X 0 ).
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