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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Nous avons alors
∂
∂t
F (s, t) =
j≥0
∂
∂t
P 1,j (t) s
j
=
j≥0
s
j
k≥0
Q 1,k P k,j (t) (Equation de Kolmogorov)
=
k≥0
Q 1,k
j≥0
s
j P k,j (t) =
k≥0
Q 1,k (F (s, t))
k (Propriété de branchement (5.4.16)).
Or Q 1,1 = −a et Q 1,j = a p j si j = 1. D’où
∂
∂t
F (s, t) = a
j≥0
p j (F (s, t))
j − F (s, t)
= a (g(F (s, t)) − F (s, t)) ,
où g est la fonction génératrice de la loi de reproduction. Introduisons la fonction
u(s) = a(g(s) − s), s ∈ [0, 1].
(5.4.19)
L’équation s’écrit
∂
∂t
F (s, t) = a (g(F (s, t)) − F (s, t)) = u(F (s, t))
(5.4.20)
avec F (s, 0) = s.
Nous allons voir comment de cette équation, nous pouvons déduire un critère de nonexplosion, un critère d’extinction, la dynamique de la moyenne du processus et des calculs
explicites dans des cas particuliers.
5.4.3 Critère de non-explosion
Le processus peut avoir un temps de vie infini ou n’être défini que sur un intervalle de
temps [0, T ∞ [, où T ∞ est fini avec probabilité positive. On a le théorème suivant.
Théorème 5.4.5 Le processus de branchement en temps continu a un temps de vie infini
presque-sûrement si et seulement si m = g
(1) < +∞, ou si m = +∞ et
1
1−ε
ds
u(s)
= −∞.
Remarquons avant de prouver ce théorème que la fonction u est positive si g n’a que le
seul point fixe 1 (et dans ce cas m = g
(1) < +∞), et qu’elle est positive avant s 0 et
négative ensuite dans le cas où g admet un point fixe s 0 < 1.
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