5.4. PROCESSUS DE BRANCHEMENT EN TEMPS CONTINU
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Nous déduisons du calcul du générateur que
P i,j (h) = i a p j−i+1 h + o(h), pour j ≥ i − 1,
P i,i (h) = 1 − i a h + o(h).
En utilisant la section précédente, nous pouvons facilement écrire les équations de Kolmogorov pour le processus Z.
d
dt
P i,j (t) = (P Q) ij (t) = −j a P i,j (t) + a
1≤k≤j+1,k =i
k p j−k+1 P i,k (t), (progressive)
(5.4.17)
d
dt
P i,j (t) = (QP ) ij (t) = −i a P i,j (t) + i a
k≥i−1,k =i
p k−i+1 P k,j (t) (rétrograde),
(5.4.18)
avec les conditions initiales
P i,j (0+) =
1 pour i = j,
0 pour i = j.
Par exemple, dans le cas de la reproduction binaire critique où p 0 = p 2 =
1
2
, l’équation de
Kolmogorov rétrograde devient pour tout i, j
d
dt
P i,j (t) =
i a
2
P i+1,j (t) + P i−1,j (t) − 2P i,j (t)
,
qui donne une équation de récurrence que l’on peut résoudre.
Toutefois, ces équations de Kolmogorov ne représentent pas l’outil le plus adapté pour
décrire la loi d’un processus de branchement et il est plus judicieux d’étudier l’équation
dynamique satisfaite par les fonctions génératrices, dès lors que le processus est défini en
tout temps.
5.4.2 Equation pour la fonction génératrice
Nous avons vu que grâce à la propriété de branchement, les fonctions génératrices satisfont
pour tout temps t la propriété (5.4.16), permettant de réduire la condition initiale à
X 0 = 1, comme nous allons le supposer maintenant.
Pour s ∈ [0, 1], nous posons
F (s, t) = E(s
Xt | X 0 = 1) =
j≥0
P(X t = j| X 0 = 1) s
j =
j≥0
P 1,j (t) s
j .
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