1 4
CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
sont indépendants et ont même loi. Nous pouvons donc écrire X t comme
X t = Z
1
t + . . . + Z
i
t ,
où les
(Z
k
t , t ≥ 0), k = 1, . . . , i
, sont des processus indépendants et de même loi, celle
d’un processus de branchement issu d’un seul individu. Nous dirons que le processus X
satisfait la propriété de branchement. En particulier, pour tout temps t > 0, la fonction
génératrice de X t est égale au produit des fonctions génératrices des Z
k
t , ce qui s’écrit :
pour tout i ≥ 0 et s ∈ [0, 1],
∞
j=0
P i,j (t)s
j =
∞
j=0
P 1,j (t)s
j
i
,
(5.4.16)
avec (P (t), t ≥ 0) le semi-groupe de transition du processus.
La preuve du Théorème 5.4.3 découle du Corollaire 5.3.5 et de la proposition suivante, qui
donne le générateur du processus.
Proposition 5.4.4 Le générateur du processus de branchement en temps continu est
donné par
1) q i = ai. En particulier, q 0 = 0 et le point 0 est absorbant.
2)
∀ i = j , Q i,j = i a p j−i+1 , si j ≥ i − 1,
= 0 sinon.
Preuve. 1) Nous savons que q i = lim
t→0
1 − P ii (t)
t
. Or 1 − P i,i (t) = P i (X(t) = i). Montrons
que cette probabilité est proche de P i (T 1 < t) = 1 − e
−ia t pour t petit, où T 1 est l’instant
de premier saut. En effet,
P i (T 1 < t) − P i (X(t) = i)
= P i ( Il y a au moins 2 sauts avant t, un pour quitter i et un pour y revenir)
≤ P i (T 2 < t).
Or, P i (T 2 < t) = P i (T 1 +T 2 −T 1 < t) ≤ P i (T 1 < t) P i (T 2 −T 1 < t) car par construction, T 1
et T 2 − T 1 sont indépendants. Nous en déduisons que P i (T 2 < t) est d’ordre t
2 , négligeable
devant P i (T 1 < t) pour t petit.
2) Par un argument similaire, nous avons également que pour i = j,
P i,j (t) = P(X t = j| X 0 = i) = P(T 1 < t, X T1 = j| X 0 = i) + o(t).
Ainsi, Q i,j = lim t→0
Pi,j (t)
t
= lim t→0
1
t
P i (T 1 < t) P i (Z 1 = j) = a i p j−1+1 .
6
CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
sont indépendants et ont même loi. Nous pouvons donc écrire X t comme
X t = Z
1
t + . . . + Z
i
t ,
où les
(Z
k
t , t ≥ 0), k = 1, . . . , i
, sont des processus indépendants et de même loi, celle
d’un processus de branchement issu d’un seul individu. Nous dirons que le processus X
satisfait la propriété de branchement. En particulier, pour tout temps t > 0, la fonction
génératrice de X t est égale au produit des fonctions génératrices des Z
k
t , ce qui s’écrit :
pour tout i ≥ 0 et s ∈ [0, 1],
∞
j=0
P i,j (t)s
j =
∞
j=0
P 1,j (t)s
j
i
,
(5.4.16)
avec (P (t), t ≥ 0) le semi-groupe de transition du processus.
La preuve du Théorème 5.4.3 découle du Corollaire 5.3.5 et de la proposition suivante, qui
donne le générateur du processus.
Proposition 5.4.4 Le générateur du processus de branchement en temps continu est
donné par
1) q i = ai. En particulier, q 0 = 0 et le point 0 est absorbant.
2)
∀ i = j , Q i,j = i a p j−i+1 , si j ≥ i − 1,
= 0 sinon.
Preuve. 1) Nous savons que q i = lim
t→0
1 − P ii (t)
t
. Or 1 − P i,i (t) = P i (X(t) = i). Montrons
que cette probabilité est proche de P i (T 1 < t) = 1 − e
−ia t pour t petit, où T 1 est l’instant
de premier saut. En effet,
P i (T 1 < t) − P i (X(t) = i)
= P i ( Il y a au moins 2 sauts avant t, un pour quitter i et un pour y revenir)
≤ P i (T 2 < t).
Or, P i (T 2 < t) = P i (T 1 +T 2 −T 1 < t) ≤ P i (T 1 < t) P i (T 2 −T 1 < t) car par construction, T 1
et T 2 − T 1 sont indépendants. Nous en déduisons que P i (T 2 < t) est d’ordre t
2 , négligeable
devant P i (T 1 < t) pour t petit.
2) Par un argument similaire, nous avons également que pour i = j,
P i,j (t) = P(X t = j| X 0 = i) = P(T 1 < t, X T1 = j| X 0 = i) + o(t).
Ainsi, Q i,j = lim t→0
Pi,j (t)
t
= lim t→0
1
t
P i (T 1 < t) P i (Z 1 = j) = a i p j−1+1 .
6