5.4. PROCESSUS DE BRANCHEMENT EN TEMPS CONTINU
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Figure 5.3 – Un processus de branchement en temps continu :
0
-
t
Dans la figure 5.3, les branches représentent les lignées des individus. La figure modélise
l’évolution au cours du temps de ces lignées.
Remarque 5.4.2 Le fait de modéliser le temps de vie des individus par une loi exponentielle peut être discuté. En effet une loi exponentielle possède la propriété de nonvieillissement qui ne représente pas forcément la réalité. Toutefois quelques espèces ne
vieillissent pas. L’hydre, petit polype d’eau douce de quelques millimètres, en est un exemple,
ainsi que certaines tortues, certains mollusques ou coraux ou certains poissons comme l’esturgeon. (Voir [71] sur ce sujet). Cette hypothèse de loi exponentielle est liée à la propriété
de Markov pour le processus de saut (X t ) t≥0 , comme nous l’avons vu dans le paragraphe
précédent. Cela permet de faire facilement des calculs. Il existe des travaux se démarquant
de cette hypothèse et de la markovianité, pour prendre en compte d’autres dynamiques de
populations, comme par exemple les processus de branchement âge-dépendants (cf. KajSagitov [44]) ou les arbres de ramification ("splitting trees") (cf. Lambert [53]), pour
lesquelles les durées de vie des individus suivent des lois quelconques.
Théorème 5.4.3 Le processus de branchement (X t ) t≥0 est un processus markovien de
saut. Le processus (Z n ) n = (X Tn ) n est une chaîne de Markov de matrice de transition P
telle que P i,j = p j−i+1 si j ≥ i − 1 et P i,j = 0 sinon. Les temps aléatoires T n+1 − T n sont
indépendants conditionnellement à Z n = i et de loi exponentielle de paramètre ia.
Propriété fondamentale. La définition du processus nous permet de remarquer que si
la population initiale est composée de i individus, les sous-processus issus de ces i ancêtres
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Figure 5.3 – Un processus de branchement en temps continu :
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Dans la figure 5.3, les branches représentent les lignées des individus. La figure modélise
l’évolution au cours du temps de ces lignées.
Remarque 5.4.2 Le fait de modéliser le temps de vie des individus par une loi exponentielle peut être discuté. En effet une loi exponentielle possède la propriété de nonvieillissement qui ne représente pas forcément la réalité. Toutefois quelques espèces ne
vieillissent pas. L’hydre, petit polype d’eau douce de quelques millimètres, en est un exemple,
ainsi que certaines tortues, certains mollusques ou coraux ou certains poissons comme l’esturgeon. (Voir [71] sur ce sujet). Cette hypothèse de loi exponentielle est liée à la propriété
de Markov pour le processus de saut (X t ) t≥0 , comme nous l’avons vu dans le paragraphe
précédent. Cela permet de faire facilement des calculs. Il existe des travaux se démarquant
de cette hypothèse et de la markovianité, pour prendre en compte d’autres dynamiques de
populations, comme par exemple les processus de branchement âge-dépendants (cf. KajSagitov [44]) ou les arbres de ramification ("splitting trees") (cf. Lambert [53]), pour
lesquelles les durées de vie des individus suivent des lois quelconques.
Théorème 5.4.3 Le processus de branchement (X t ) t≥0 est un processus markovien de
saut. Le processus (Z n ) n = (X Tn ) n est une chaîne de Markov de matrice de transition P
telle que P i,j = p j−i+1 si j ≥ i − 1 et P i,j = 0 sinon. Les temps aléatoires T n+1 − T n sont
indépendants conditionnellement à Z n = i et de loi exponentielle de paramètre ia.
Propriété fondamentale. La définition du processus nous permet de remarquer que si
la population initiale est composée de i individus, les sous-processus issus de ces i ancêtres
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