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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Etudions maintenant le cas où
i
1
qi
= +∞. Introduisons la transformée de Laplace de
E. Elle vaut
E(e
−λE ) =
i
E(e
−λei ) =
i
q i
λ + q i
et elle est nulle si et seulement si
i e i = +∞ avec probabilité 1.
Le produit ci-dessus est nul si et seulement si la somme
i log
1 +
λ
qi
vaut −∞. Or,
pour λ suffisamment petit, cette série a le même comportement que −
i
1
qi
, ce qui permet de conclure.
5.4 Processus de branchement en temps continu
5.4.1 Définition et propriété de branchement
Considérons un processus (X t ) t≥0 décrivant la dynamique de population suivante :
• Au temps t = 0, on a un nombre aléatoire X 0 d’individus.
• Chaque individu a un temps de vie aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre
a > 0.
• Au bout de ce temps, l’individu se reproduit suivant la loi de reproduction (p i ) i∈N .
La probabilité que sa lignée s’arrête est donc p 0 . Nous éviterons les cas triviaux en
supposant que
p 0 > 0 ; p 0 + p 1 < 1.
• Les temps de vie et les nombres d’enfants de chaque individu sont indépendants les uns
des autres.
Définition 5.4.1 On appelle processus de branchement en temps continu le processus
(X t ) t≥0 ainsi défini. X t représente le nombre d’individus présents au temps t.
Quand p 0 + p 2 = 1, le processus est appelé processus de branchement binaire ou processus
de naissance et mort linéaire. Un tel processus modélise par exemple le mécanisme de
division cellulaire.
Si de plus, p 0 = 0 (une lignée ne disparaît jamais), le processus est appelé processus de
fission binaire ou processus de Yule.
Nous introduisons l’espérance de la loi de reproduction m =
k≥0 k p k et pour s ∈ [0, 1],
sa fonction génératrice g(s) =
k≥0
p k s
k .
Rappelons que si m < +∞, la fonction g est dérivable en 1 et g
(1) = m. Notons s 0 la
plus petite racine de l’équation g(s) = s.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Etudions maintenant le cas où
i
1
qi
= +∞. Introduisons la transformée de Laplace de
E. Elle vaut
E(e
−λE ) =
i
E(e
−λei ) =
i
q i
λ + q i
et elle est nulle si et seulement si
i e i = +∞ avec probabilité 1.
Le produit ci-dessus est nul si et seulement si la somme
i log
1 +
λ
qi
vaut −∞. Or,
pour λ suffisamment petit, cette série a le même comportement que −
i
1
qi
, ce qui permet de conclure.
5.4 Processus de branchement en temps continu
5.4.1 Définition et propriété de branchement
Considérons un processus (X t ) t≥0 décrivant la dynamique de population suivante :
• Au temps t = 0, on a un nombre aléatoire X 0 d’individus.
• Chaque individu a un temps de vie aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre
a > 0.
• Au bout de ce temps, l’individu se reproduit suivant la loi de reproduction (p i ) i∈N .
La probabilité que sa lignée s’arrête est donc p 0 . Nous éviterons les cas triviaux en
supposant que
p 0 > 0 ; p 0 + p 1 < 1.
• Les temps de vie et les nombres d’enfants de chaque individu sont indépendants les uns
des autres.
Définition 5.4.1 On appelle processus de branchement en temps continu le processus
(X t ) t≥0 ainsi défini. X t représente le nombre d’individus présents au temps t.
Quand p 0 + p 2 = 1, le processus est appelé processus de branchement binaire ou processus
de naissance et mort linéaire. Un tel processus modélise par exemple le mécanisme de
division cellulaire.
Si de plus, p 0 = 0 (une lignée ne disparaît jamais), le processus est appelé processus de
fission binaire ou processus de Yule.
Nous introduisons l’espérance de la loi de reproduction m =
k≥0 k p k et pour s ∈ [0, 1],
sa fonction génératrice g(s) =
k≥0
p k s
k .
Rappelons que si m < +∞, la fonction g est dérivable en 1 et g
(1) = m. Notons s 0 la
plus petite racine de l’équation g(s) = s.
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