5.3. GÉNÉRATEUR D’UN PROCESSUS MARKOVIEN DE SAUT
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• On démarre de X 0 = i et on attend un temps exponentiel S 1 de paramètre q i . Le
processus reste constant égal à i jusqu’au temps S 1 .
• Au temps S 1 , le processus saute de l’état i à l’état j avec probabilité
Qi,j
qi
.
• On réitère la procédure (on attend un temps exponentiel S 2 de paramètre q j et indépendant de S 1 , · · · ).
Les temps de vie exponentiels U 1 , U 2 , · · · sont appelés temps de séjour dans les états
respectifs Z 1 , Z 2 · · · . Le processus a une durée de vie finie si
T ∞ =
k≥1
U k = lim
n
T n < +∞.
Remarquons que T ∞ < +∞ entraîne de manière évidente que lim t↑T∞ X t = +∞ ; on dira
dans ce cas que le processus explose.
Etudions maintenant la condition de non-explosion (5.1.1) pour (T n ) n , qui assure que
le processus est défini par (5.3.14) pour tout t ∈ R + , et prouve alors l’existence d’un
processus markovien de saut de générateur infinitésimal Q.
Proposition 5.3.7 La condition de non-explosion lim n T n = +∞ presque-sûrement, est
satisfaite si et seulement si
n≥0
1
q Zn
= +∞ presque-sûrement.
(5.3.15)
Avant de prouver la proposition, énonçons tout de suite un corollaire immédiat.
Corollaire 5.3.8 Pour qu’un générateur infinitésimal Q soit le générateur infinitésimal
d’un processus markovien de saut vérifiant (5.3.13), il suffit que l’une des deux conditions
suivantes soit satisfaite :
(i) sup i∈E q i < +∞.
(ii) La chaîne de Markov (Z n ) n de matrice de transition ˜
P est récurrente.
Preuve de la Proposition 5.3.7. Nous avons vu que T n − T n−1 =
Sn
q Z n−1
et les temps
aléatoires S n sont indépendants. De plus, S n est loi exponentielle de paramètre 1, donc
conditionnellement à Z n−1 , la variable aléatoire
Sn
q Z n−1
suit une loi exponentielle de paramètre q Zn−1 .
Nous allons montrer que si les (e i ) sont des variables aléatoires indépendantes de loi
exponentielle de paramètre q i , alors presque-sûrement,
E =
i
e i = +∞ ⇐⇒
i
1
q i
= +∞.
Comme E(e i ) =
1
qi
, il est clair que si
i
1
qi
< +∞, alors E est finie presque-sûrement.
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• On démarre de X 0 = i et on attend un temps exponentiel S 1 de paramètre q i . Le
processus reste constant égal à i jusqu’au temps S 1 .
• Au temps S 1 , le processus saute de l’état i à l’état j avec probabilité
Qi,j
qi
.
• On réitère la procédure (on attend un temps exponentiel S 2 de paramètre q j et indépendant de S 1 , · · · ).
Les temps de vie exponentiels U 1 , U 2 , · · · sont appelés temps de séjour dans les états
respectifs Z 1 , Z 2 · · · . Le processus a une durée de vie finie si
T ∞ =
k≥1
U k = lim
n
T n < +∞.
Remarquons que T ∞ < +∞ entraîne de manière évidente que lim t↑T∞ X t = +∞ ; on dira
dans ce cas que le processus explose.
Etudions maintenant la condition de non-explosion (5.1.1) pour (T n ) n , qui assure que
le processus est défini par (5.3.14) pour tout t ∈ R + , et prouve alors l’existence d’un
processus markovien de saut de générateur infinitésimal Q.
Proposition 5.3.7 La condition de non-explosion lim n T n = +∞ presque-sûrement, est
satisfaite si et seulement si
n≥0
1
q Zn
= +∞ presque-sûrement.
(5.3.15)
Avant de prouver la proposition, énonçons tout de suite un corollaire immédiat.
Corollaire 5.3.8 Pour qu’un générateur infinitésimal Q soit le générateur infinitésimal
d’un processus markovien de saut vérifiant (5.3.13), il suffit que l’une des deux conditions
suivantes soit satisfaite :
(i) sup i∈E q i < +∞.
(ii) La chaîne de Markov (Z n ) n de matrice de transition ˜
P est récurrente.
Preuve de la Proposition 5.3.7. Nous avons vu que T n − T n−1 =
Sn
q Z n−1
et les temps
aléatoires S n sont indépendants. De plus, S n est loi exponentielle de paramètre 1, donc
conditionnellement à Z n−1 , la variable aléatoire
Sn
q Z n−1
suit une loi exponentielle de paramètre q Zn−1 .
Nous allons montrer que si les (e i ) sont des variables aléatoires indépendantes de loi
exponentielle de paramètre q i , alors presque-sûrement,
E =
i
e i = +∞ ⇐⇒
i
1
q i
= +∞.
Comme E(e i ) =
1
qi
, il est clair que si
i
1
qi
< +∞, alors E est finie presque-sûrement.
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