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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Preuve du Théorème 5.3.2. Nous voulons calculer P(T 1 > t|X 0 = i). Considérons
n ∈ N et h > 0 et supposons que h → 0 et que n → ∞ de telle sorte que nh ↑ t. Nous
allons utiliser la propriété de semi-groupe. Pour cela, remarquons tout d’abord que
{T 1 > nh} ⊂ {X 0 = X h = · · · = X nh } ⊂ {T 1 > nh} ∪ {T 2 − T 1 ≤ h}.
Comme P(T 2 − T 1 ≤ h) → 0 quand h → 0, nous avons
P(T 1 > t|X 0 = i) =
lim
h→0,nh→t
P(X 0 = X 1 = · · · = X nh | X 0 = i)
=
lim
h→0,nh→t
(P i,i (h))
n = lim
h→0,nh→t
e
n ln Pi,i(h) , par propriété de Markov.
Comme P i,i (h) tend vers 1 quand h → 0, nous savons que log P i,i (h) ∼ P i,i (h) − 1 au
voisinage de 0. Comme de plus n est d’ordre
t
h
, nous pouvons déduire de l’existence de
la limite précédente qu’il existe q i ∈ [0, +∞] tel que lim h→0
1
h
(1 − P i,i (h)) = q i . Ainsi,
P(T 1 > t|X 0 = i) = e
−qit .
Cette dernière propriété entraîne que q i < +∞ et que q i = 0 si et seulement si i est un
état absorbant. Nous posons alors Q i,i = −q i .
La démonstration de l’existence d’une limite à
P i,j (h)
h
, pour i = j se fait de manière
analogue. Nous avons {T 1 ≤ t, Z 0 = i, Z 1 = j} = lim h→0,nh→t ∪ 0≤m≤n {X 0 = X h = · · · =
X (m−1)h = i, X mh = j}, d’où
P(T 1 ≤ t, Z 1 = j|X 0 = i) =
lim
h→0,nh→t
n−1
m=0
(P i,i (h))
m P i,j (h) = lim
h→0,nh→t
1 − (P i,i (h))
n
1 − P i,i (h)
P i,j (h)
=
lim
h→0,nh→t
(1 − (P i,i (h))
n )
h
1 − P i,i (h)
1
h
P i,j (h)
=
1 − e
−qit
q i
lim
h→0
1
h
P i,j (h).
(5.3.7)
Ainsi, Q i,j = lim h→0
1
h
P i,j (h) existe pour i = j et
P(T 1 ≤ t, Z 1 = j | X 0 = i) = (1 − e
−qit )
Q i,j
q i
,
d’où P(T 1 ≤ t, Z 1 = j | X 0 = i) = P(T 1 ≤ t | X 0 = i)P(Z 1 = j | X 0 = i), ce qui entraîne
l’indépendance de T 1 et Z 1 conditionnellement à X 0 = i. De plus,
P(Z 1 = j | X 0 = i) =
Q i,j
q i
.
(5.3.8)
Nous en déduisons que
j =i
Q i,j = q i = −Q i,i .
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