5.3. GÉNÉRATEUR D’UN PROCESSUS MARKOVIEN DE SAUT
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En outre conditionnellement à X 0 = i et si q i = 0, l’instant T 1 de premier saut et la
position Z 1 = X T1 après le premier saut sont indépendants, avec T 1 de loi exponentielle
de paramètre q i et Z 1 de loi donnée par
Qi,j
qi
, j = i
. Si q i = 0, le processus reste absorbé
en i.
Remarque 5.3.3 Le générateur infinitésimal peut également être défini comme opérateur
de dérivation de la loi du processus, comme dans le cas d’un processus de diffusion (cf.
Définition 4.6.19). Pour toute fonction bornée sur N, on pose
Qf (i) = lim
t→0,t>0
P t f (i) − f (i)
t
.
Par (5.3.5), nous avons pour t au voisinage de 0,
P t f (i) =
j
P i,j (t)f (j) = P i,i (t)f (i) +
j =i
P i,j (t)f (j)
=
1 + tQ i,i + o(t)
f (i) +
j =i
t Q i,j + o(t)
f (j)
= f (i) + t
j =i
Q i,j (f (j) − f (i))
+ o(t),
et donc
Qf (i) =
j =i
Q i,j
f (j) − f (i)
.
(5.3.6)
Définition 5.3.4 On appelle q i le taux de saut du processus issu de i. Nous avons donc
P(T 1 > t|X 0 = i) = e
−qit .
Le nombre Q i,j sera appelé taux de transition de i vers j.
Grâce à la propriété de Markov forte, nous en déduisons le résultat suivant.
Corollaire 5.3.5 Pour tout n ∈ N
∗ , conditionnellement à la tribu engendrée par le processus jusqu’au temps T n−1 , la variable aléatoire T n − T n−1 est indépendante de Z n = X Tn .
De plus, la loi conditionnelle de T n − T n−1 est une loi exponentielle de paramètre q Zn−1 ,
et la loi conditionnelle de Z n est donnée par (
Q Z n−1 ,j
q Z n−1
, j ∈ N).
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