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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Nous allons voir que la loi des processus markoviens de saut peut être décrite en généralisant cette décomposition : loi des temps entre les sauts et loi de l’amplitude des
sauts.
5.3 Générateur d’un processus markovien de saut
5.3.1 Le générateur infinitésimal
Revenons ici au cadre général des processus markoviens de saut. Nous avons vu que la loi
d’un tel processus est caractérisée par son semi-groupe dès lors que l’on connaît sa condition initiale (Proposition 5.1.4). La donnée du semi-groupe correspond à la donnée d’une
infinité de matrices P (t), t > 0. Dans cette partie nous allons montrer qu’il suffit en fait
de connaître une seule matrice qui décrit le comportement infinitésimal de P (t) au voisinage de 0. Cela est dû à la propriété de Chapman-Kolmogorov (Proposition 5.1.5). Cette
matrice, appelée générateur infinitésimal du processus, permet de décrire la structure du
processus.
Remarquons tout d’abord qu’un processus markovien de saut vérifie la propriété de Markov forte.
Théorème 5.3.1 Soient (X t , t ≥ 0) un processus markovien de saut et S un F
X
t temps
d’arrêt. Conditionnellement à {S < +∞} et à {X S = i}, le processus (X S+t , t ≥ 0) est
indépendant de la tribu engendrée par X jusqu’au temps S et sa loi est celle de (X t , t ≥ 0)
issu de X 0 = i.
La preuve est une adaptation de celle donnée pour le processus de Poisson (Proposition
5.2.12) et est laissée au lecteur.
La propriété de semi-groupe (5.1.3) entraîne que la connaissance de P (t) pour tout t peut
se déduire de la connaissance de P (t) pour t petit. En fait, nous allons montrer qu’il suffit
de connaître sa dérivée à droite en 0.
Théorème 5.3.2 Soit P (t), t > 0, le semi-groupe des matrices de transition d’un processus markovien de saut (X t ) t . Il existe une matrice (Q i,j , i, j ∈ N), appelée générateur
infinitésimal du semi-groupe (P (t)) t ou du processus de Markov (X t ) t , qui vérifie
Q i,j ≥ 0 pour i = j ; Q i,i = −
j∈N\{i}
Q i,j ≤ 0,
cette dernière inégalité étant stricte sauf si l’état i est absorbant. On note q i = −Q i,i .
Lorsque h ↓ 0,
P i,j (h) = hQ i,j + o(h) pour i = j,
P i,i (h) = 1 − hq i + o(h).
(5.3.5)
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Nous allons voir que la loi des processus markoviens de saut peut être décrite en généralisant cette décomposition : loi des temps entre les sauts et loi de l’amplitude des
sauts.
5.3 Générateur d’un processus markovien de saut
5.3.1 Le générateur infinitésimal
Revenons ici au cadre général des processus markoviens de saut. Nous avons vu que la loi
d’un tel processus est caractérisée par son semi-groupe dès lors que l’on connaît sa condition initiale (Proposition 5.1.4). La donnée du semi-groupe correspond à la donnée d’une
infinité de matrices P (t), t > 0. Dans cette partie nous allons montrer qu’il suffit en fait
de connaître une seule matrice qui décrit le comportement infinitésimal de P (t) au voisinage de 0. Cela est dû à la propriété de Chapman-Kolmogorov (Proposition 5.1.5). Cette
matrice, appelée générateur infinitésimal du processus, permet de décrire la structure du
processus.
Remarquons tout d’abord qu’un processus markovien de saut vérifie la propriété de Markov forte.
Théorème 5.3.1 Soient (X t , t ≥ 0) un processus markovien de saut et S un F
X
t temps
d’arrêt. Conditionnellement à {S < +∞} et à {X S = i}, le processus (X S+t , t ≥ 0) est
indépendant de la tribu engendrée par X jusqu’au temps S et sa loi est celle de (X t , t ≥ 0)
issu de X 0 = i.
La preuve est une adaptation de celle donnée pour le processus de Poisson (Proposition
5.2.12) et est laissée au lecteur.
La propriété de semi-groupe (5.1.3) entraîne que la connaissance de P (t) pour tout t peut
se déduire de la connaissance de P (t) pour t petit. En fait, nous allons montrer qu’il suffit
de connaître sa dérivée à droite en 0.
Théorème 5.3.2 Soit P (t), t > 0, le semi-groupe des matrices de transition d’un processus markovien de saut (X t ) t . Il existe une matrice (Q i,j , i, j ∈ N), appelée générateur
infinitésimal du semi-groupe (P (t)) t ou du processus de Markov (X t ) t , qui vérifie
Q i,j ≥ 0 pour i = j ; Q i,i = −
j∈N\{i}
Q i,j ≤ 0,
cette dernière inégalité étant stricte sauf si l’état i est absorbant. On note q i = −Q i,i .
Lorsque h ↓ 0,
P i,j (h) = hQ i,j + o(h) pour i = j,
P i,i (h) = 1 − hq i + o(h).
(5.3.5)
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