5.2. UN PROTOTYPE : LE PROCESSUS DE POISSON
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vers le mouvement brownien, quand u tend vers l’infini. La preuve s’inspire de celle déjà
vue au Paragraphe 4.2. En effet, nous avons montré que pour t fixé, Y
u
t converge en loi
vers une variable aléatoire B t centrée, de variance t.
De même nous pouvons étudier le comportement en loi de (Y
u
t1 , Y
u
t2 − Y
u
t1 , · · · , Y
u
t k
− Y
u
t k−1
),
pour t 1 < · · · < t k , et montrer que ce vecteur converge vers (Z t1 , Z t2−t1 , · · · , Z t k −t k−1 ), où
les variables aléatoires Z ti−ti−1 sont indépendantes et suivent des lois normales centrées
de variances respectives t i − t i−1 . Remarquons par ailleurs que l’amplitude des sauts de
Y
u
t est
1
√
λu
qui tend vers 0 quand u tend vers l’infini. Nous avons donc montré que
le processus (Y
u
t , t ≥ 0) converge au sens des marginales fini-dimensionnelles, vers un
processus (B t , t ≥ 0) qui est à accroissements indépendants et stationnaires, à trajectoires
continues et tel que pour chaque t > 0 la variable aléatoire B t est une variable normale
centrée et de variance t. C’est un mouvement brownien (Voir Définition 4.2.5).
Remarque 5.2.17 Nous avons vu à la Proposition 5.2.10 que le processus N t −λt est une
martingale. Mais (4.5.7) n’est pas satisfaite. En effet, en prenant t = n/λ, nous pouvons
montrer que
E(|N t − λt|) = 2
n − n e
−n
∞
k=n+1
n
k
k!
− e
−n
n
k=0
k
n
k
k!
,
qui tend vers +∞ quand n tend vers l’infini. Ainsi, nous ne pouvons pas utiliser le Théorème 4.5.6 pour conclure à la convergence de N t /t.
5.2.4 Processus de Poisson composé
Etant donné un processus de Poisson, nous pouvons construire des processus markoviens
de saut plus compliqués en supposant les amplitudes de saut aléatoires et indépendantes
du processus de Poisson. Ces processus sont appelés processus de Poisson composés.
Exemple 5.2.18 Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson d’intensité λ et d’instants de
sauts (T n ) n . Donnons-nous par ailleurs une chaîne de Markov (Z n ) n à valeurs dans Z,
indépendante de (N t ) t et de matrice de transition M i,j . Alors
X t =
∞
n=0
Z n [Tn,Tn+1[ (t)
est un processus markovien de saut de matrice de transition
P i,j (t) =
n
P(T n ≤ t < T n+1 , Z n = j|Z 0 = i) =
n
P(N t = n)P(Z n = j|Z 0 = i),
par indépendance. D’où
P i,j (t) = e
−λt
n
(λt)
n
n!
M
(n)
i,j .
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vers le mouvement brownien, quand u tend vers l’infini. La preuve s’inspire de celle déjà
vue au Paragraphe 4.2. En effet, nous avons montré que pour t fixé, Y
u
t converge en loi
vers une variable aléatoire B t centrée, de variance t.
De même nous pouvons étudier le comportement en loi de (Y
u
t1 , Y
u
t2 − Y
u
t1 , · · · , Y
u
t k
− Y
u
t k−1
),
pour t 1 < · · · < t k , et montrer que ce vecteur converge vers (Z t1 , Z t2−t1 , · · · , Z t k −t k−1 ), où
les variables aléatoires Z ti−ti−1 sont indépendantes et suivent des lois normales centrées
de variances respectives t i − t i−1 . Remarquons par ailleurs que l’amplitude des sauts de
Y
u
t est
1
√
λu
qui tend vers 0 quand u tend vers l’infini. Nous avons donc montré que
le processus (Y
u
t , t ≥ 0) converge au sens des marginales fini-dimensionnelles, vers un
processus (B t , t ≥ 0) qui est à accroissements indépendants et stationnaires, à trajectoires
continues et tel que pour chaque t > 0 la variable aléatoire B t est une variable normale
centrée et de variance t. C’est un mouvement brownien (Voir Définition 4.2.5).
Remarque 5.2.17 Nous avons vu à la Proposition 5.2.10 que le processus N t −λt est une
martingale. Mais (4.5.7) n’est pas satisfaite. En effet, en prenant t = n/λ, nous pouvons
montrer que
E(|N t − λt|) = 2
n − n e
−n
∞
k=n+1
n
k
k!
− e
−n
n
k=0
k
n
k
k!
,
qui tend vers +∞ quand n tend vers l’infini. Ainsi, nous ne pouvons pas utiliser le Théorème 4.5.6 pour conclure à la convergence de N t /t.
5.2.4 Processus de Poisson composé
Etant donné un processus de Poisson, nous pouvons construire des processus markoviens
de saut plus compliqués en supposant les amplitudes de saut aléatoires et indépendantes
du processus de Poisson. Ces processus sont appelés processus de Poisson composés.
Exemple 5.2.18 Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson d’intensité λ et d’instants de
sauts (T n ) n . Donnons-nous par ailleurs une chaîne de Markov (Z n ) n à valeurs dans Z,
indépendante de (N t ) t et de matrice de transition M i,j . Alors
X t =
∞
n=0
Z n [Tn,Tn+1[ (t)
est un processus markovien de saut de matrice de transition
P i,j (t) =
n
P(T n ≤ t < T n+1 , Z n = j|Z 0 = i) =
n
P(N t = n)P(Z n = j|Z 0 = i),
par indépendance. D’où
P i,j (t) = e
−λt
n
(λt)
n
n!
M
(n)
i,j .
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