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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Proposition 5.2.15 Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson d’intensité λ. Alors
Nt
t
converge presque-sûrement vers λ, quand t tend vers l’infini.
Preuve. Remarquons tout d’abord que N n =
n
i=1 (N i − N i−1 ) est la somme de variables
aléatoires indépendantes de même loi de Poisson de paramètre λ. Il résulte alors de la loi
forte des grands nombres que
N n
n
converge presque-sûrement vers λ, quand n tend vers
l’infini. Nous pouvons alors écrire
N t
t
=
N [t]
[t]
[t]
t
+
N t − N [t]
t
.
Il nous suffit alors de montrer que
sup
n≤t
n
tend p.s. vers 0 quand n tend vers
l’infini. Posons
ξ n = sup
n≤t
Les ξ n sont indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre λ. La loi des grands
nombres entraîne alors que
ξ1+···+ξn
n
converge vers λ presque-sûrement et donc que
ξn
n
converge presque-sûrement vers 0.
Nous avons également un théorème de la limite centrale.
Théorème 5.2.16 Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson d’intensité λ. Alors le processus
Nt−λt √
λt
, t ≥ 0
converge en loi, quand t tend vers l’infini, vers une variable aléatoire de
loi normale centrée réduite.
Preuve. Nous allons raisonner comme dans la preuve précédente. Par le théorème de la
limite centrale, nous savons que la suite
Nn−λn √
λn
n
converge en loi vers Z quand n tend
vers l’infini, où Z est une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.
De plus,
Nt−N [t]
√
λt
≤
ξ [t]
√
λ[t]
. Or, P(
ξn
√
n
> ε) = P(ξ n > ε
√
n) = P(ξ 1 > ε
√
n), qui tend vers 0
quand n tend vers l’infini. Donc
Nt−N [t]
√
λt
tend en probabilité vers 0. Finalement nous avons
N t − λt
√
λt
=
N [t] − λ[t]
λ[t]
×
[t]
t
+
N t − N [t]
√
λt
+
√
λ
[t] − t
√
t
.
Nous pouvons alors conclure, sachant que N t − N [t] et N [t] sont indépendantes et en utilisant les fonctions caractéristiques, comme au Paragraphe 4.2.
Nous pouvons en fait établir également un théorème de la limite centrale fonctionnel, qui
montre la convergence de la fonction aléatoire
t → Y
u
t =
N ut − λtu
√
λu
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Proposition 5.2.15 Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson d’intensité λ. Alors
Nt
t
converge presque-sûrement vers λ, quand t tend vers l’infini.
Preuve. Remarquons tout d’abord que N n =
n
i=1 (N i − N i−1 ) est la somme de variables
aléatoires indépendantes de même loi de Poisson de paramètre λ. Il résulte alors de la loi
forte des grands nombres que
N n
n
converge presque-sûrement vers λ, quand n tend vers
l’infini. Nous pouvons alors écrire
N t
t
=
N [t]
[t]
[t]
t
+
N t − N [t]
t
.
Il nous suffit alors de montrer que
sup
n≤t
n
tend p.s. vers 0 quand n tend vers
l’infini. Posons
ξ n = sup
n≤t
Les ξ n sont indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre λ. La loi des grands
nombres entraîne alors que
ξ1+···+ξn
n
converge vers λ presque-sûrement et donc que
ξn
n
converge presque-sûrement vers 0.
Nous avons également un théorème de la limite centrale.
Théorème 5.2.16 Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson d’intensité λ. Alors le processus
Nt−λt √
λt
, t ≥ 0
converge en loi, quand t tend vers l’infini, vers une variable aléatoire de
loi normale centrée réduite.
Preuve. Nous allons raisonner comme dans la preuve précédente. Par le théorème de la
limite centrale, nous savons que la suite
Nn−λn √
λn
n
converge en loi vers Z quand n tend
vers l’infini, où Z est une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.
De plus,
Nt−N [t]
√
λt
≤
ξ [t]
√
λ[t]
. Or, P(
ξn
√
n
> ε) = P(ξ n > ε
√
n) = P(ξ 1 > ε
√
n), qui tend vers 0
quand n tend vers l’infini. Donc
Nt−N [t]
√
λt
tend en probabilité vers 0. Finalement nous avons
N t − λt
√
λt
=
N [t] − λ[t]
λ[t]
×
[t]
t
+
N t − N [t]
√
λt
+
√
λ
[t] − t
√
t
.
Nous pouvons alors conclure, sachant que N t − N [t] et N [t] sont indépendantes et en utilisant les fonctions caractéristiques, comme au Paragraphe 4.2.
Nous pouvons en fait établir également un théorème de la limite centrale fonctionnel, qui
montre la convergence de la fonction aléatoire
t → Y
u
t =
N ut − λtu
√
λu
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