5.2. UN PROTOTYPE : LE PROCESSUS DE POISSON
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Le résultat est donc établi si la suite des valeurs de S est discrète. Supposons maintenant
que S soit un temps d’arrêt quelconque. Nous introduisons la suite (R n ) n définie par
R n =
k∈N ∗
k2
−n {(k−1)2 −n
S. L’égalité (5.2.4) est vraie pour chaque R n et l’on peut facilement justifier un passage à
la limite, du fait de la continuité à droite des trajectoires de (N t ) t . Cela conclut la preuve.
Nous en déduisons le résultat fondamental suivant.
Proposition 5.2.13 Un processus de Poisson (N t , t ≥ 0) d’intensité λ est un processus
de Markov fort. Notons comme précédemment par (S n ) n la suite des temps d’attente entre
les sauts. Alors les variables S i sont indépendantes et de loi exponentielle de paramètre λ.
Preuve. La propriété de Markov forte est un corollaire immédiat de la Proposition 5.2.12.
Nous savons déjà, par le Corollaire 5.2.9, que S 1 = T 1 suit une loi exponentielle de paramètre λ. Appliquons la Proposition 5.2.12 avec S = T n . Ainsi S n+1 = T n+1 − T n est
le premier instant de saut du processus de Poisson (N Tn+t − N Tn , t ≥ 0) d’intensité λ et
indépendant de T 1 , · · · , T n , donc aussi de S 1 , · · · , S n . Le résultat suit.
La proposition suivante fournit une preuve constructive de l’existence d’un processus de
Poisson et un algorithme de simulation.
Proposition 5.2.14 Soit (S n ) n une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi
exponentielle de paramètre λ. Pour tous n ≥ 1 et t > 0, posons T n = S 1 + · · · + S n et
N t = sup{n, T n ≤ t} = Card{n, T n ≤ t}. Alors (N t , t ≥ 0) est un processus de Poisson
d’intensité λ.
5.2.3 Comportement asymptotique d’un processus de Poisson
Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson d’intensité λ. Nous avons alors
E(N t ) = λt, V ar(N t ) = λt.
Ainsi,
E(t
−1 N t ) = λ, V ar(t
−1 N t ) =
λ
t
,
donc
N t
t
converge en moyenne quadratique vers λ, quand t tend vers l’infini.
En fait nous avons également une version forte de cette loi des grands nombres.
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Le résultat est donc établi si la suite des valeurs de S est discrète. Supposons maintenant
que S soit un temps d’arrêt quelconque. Nous introduisons la suite (R n ) n définie par
R n =
k∈N ∗
k2
−n {(k−1)2 −n
S. L’égalité (5.2.4) est vraie pour chaque R n et l’on peut facilement justifier un passage à
la limite, du fait de la continuité à droite des trajectoires de (N t ) t . Cela conclut la preuve.
Nous en déduisons le résultat fondamental suivant.
Proposition 5.2.13 Un processus de Poisson (N t , t ≥ 0) d’intensité λ est un processus
de Markov fort. Notons comme précédemment par (S n ) n la suite des temps d’attente entre
les sauts. Alors les variables S i sont indépendantes et de loi exponentielle de paramètre λ.
Preuve. La propriété de Markov forte est un corollaire immédiat de la Proposition 5.2.12.
Nous savons déjà, par le Corollaire 5.2.9, que S 1 = T 1 suit une loi exponentielle de paramètre λ. Appliquons la Proposition 5.2.12 avec S = T n . Ainsi S n+1 = T n+1 − T n est
le premier instant de saut du processus de Poisson (N Tn+t − N Tn , t ≥ 0) d’intensité λ et
indépendant de T 1 , · · · , T n , donc aussi de S 1 , · · · , S n . Le résultat suit.
La proposition suivante fournit une preuve constructive de l’existence d’un processus de
Poisson et un algorithme de simulation.
Proposition 5.2.14 Soit (S n ) n une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi
exponentielle de paramètre λ. Pour tous n ≥ 1 et t > 0, posons T n = S 1 + · · · + S n et
N t = sup{n, T n ≤ t} = Card{n, T n ≤ t}. Alors (N t , t ≥ 0) est un processus de Poisson
d’intensité λ.
5.2.3 Comportement asymptotique d’un processus de Poisson
Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson d’intensité λ. Nous avons alors
E(N t ) = λt, V ar(N t ) = λt.
Ainsi,
E(t
−1 N t ) = λ, V ar(t
−1 N t ) =
λ
t
,
donc
N t
t
converge en moyenne quadratique vers λ, quand t tend vers l’infini.
En fait nous avons également une version forte de cette loi des grands nombres.
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