5.3. GÉNÉRATEUR D’UN PROCESSUS MARKOVIEN DE SAUT
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Ce théorème nous permet d’obtenir les équations de Kolmogorov, fondamentales dans la
pratique. Ces équations décrivent la dynamique temporelle des lois à partir de la matrice
de taux. Soit I la matrice identité sur N.
Théorème 5.3.6 Sous l’hypothèse (5.1.1),
1) (P (t), t ≥ 0) est l’unique solution de l’équation de Kolmogorov rétrograde
dP
dt
(t) = QP (t), pour t > 0; P (0) = I,
(5.3.9)
c’est-à-dire que pour tous i, j ∈ N,
dP i,j
dt
(t) =
k∈N
Q i,k P k,j (t).
(5.3.10)
Pour tout i de N et toute fonction g, u(t, i) = E(g(X t )|X 0 = i) est solution de
∂u
∂t
(t, i) =
k∈N
Q i,k u(t, k), t > 0, ; u(0, i) = g(i), i ∈ N.
2) (P (t), t ≥ 0) est l’unique solution de l’équation de Kolmogorov progressive
dP
dt
(t) = P (t)Q, pour t > 0; P (0) = I,
(5.3.11)
c’est-à-dire que pour tous i, j ∈ N,
dP i,j
dt
(t) =
k∈N
P i,k (t)Q k,j .
(5.3.12)
En outre, la famille des lois marginales μ(t) de (X t , t ≥ 0) satisfait l’équation de FokkerPlanck
∂μ j (t)
∂t
=
k∈N
μ k (t)Q k,j , pour t > 0, j ∈ N.
Preuve. L’idée de preuve est la suivante. Pour établir l’équation de Kolmogorov rétrograde, il suffit de dériver P (t + h) en h = 0 en utilisant la propriété de semi-groupe
P (t + h) = P (h)P (t). L’équation pour u s’en déduit en multipliant à droite par le vecteur colonne (g j ). L’équation progressive s’obtient de la même manière, mais en écrivant
P (t + h) = P (t)P (h). L’équation de Fokker-Planck s’en déduit alors immédiatement en
multipliant à gauche par le vecteur ligne (μ i (0)).
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