5.2. UN PROTOTYPE : LE PROCESSUS DE POISSON
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Corollaire 5.2.9 La loi du premier temps de saut T 1 est une loi exponentielle de paramètre λ. De même, pour tout s > 0, la loi du premier événement après s, soit T Ns+1 − s,
est une loi exponentielle de paramètre λ.
Preuve. Pour t > 0, on a P(T 1 > t) = P(N t = 0) = e
−λt . De même,
P(T Ns+1 − s > t) = P(N s+t − N s = 0) = P(N t = 0).
Rappelons qu’une variable aléatoire de loi exponentielle est une variable aléatoire sans
mémoire, au sens où pour tous t, s > 0,
P(T 1 > t + s | T 1 > t) = P(T 1 > s).
Nous allons retrouver cet aspect dans la structure générale d’un processus markovien de
saut.
Finissons ce paragraphe en exhibant une martingale liée au processus de Poisson.
Remarquons que la donnée de (N s , s ≤ t) est équivalente à celle de (N t , T 1 , T 2 , · · · , T Nt ).
La tribu F
N
t = σ(N s , s ≤ t) est la tribu engendrée par ces variables et décrit donc
l’information donnée par le processus (N t ) t jusqu’au temps t.
Proposition 5.2.10 Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson de paramètre λ. Alors le
processus (M t , t ≥ 0) défini par M t = N t − λt, est une F
N
t -martingale.
Preuve. Pour chaque t > 0, N t est une variable aléatoire d’espérance finie donc il en est
de même pour M t . De plus, pour s < t,
E(N t |F
N
s ) = E(N t − N s + N s |F
N
s ) = E(N t − N s ) + N s = λ(t − s) + N s .
Nous avons utilisé l’indépendance des variables aléatoires N t − N s et N s et la Proposition
5.2.5.
5.2.2 Propriété de Markov forte
Soit (N t , t ≥ 0) un processus de Poisson d’intensité λ. Pour tout s > 0, introduisons le
processus (N
s
t , t ≥ 0) défini par
N
s
t = N t+s − N s .
Ce processus compte le nombre d’événements sur l’intervalle ]s, t]. Il est facile de voir que
c’est également un processus de Poisson d’intensité λ, indépendant de (N u , u ≤ s). En
particulier, cela entraîne que (N t , t ≥ 0) vérifie la propriété de Markov et de la Proposition
5.2.5, nous déduisons la
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