1 0
CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Pour étudier le comportement asymptotique de P(N 2 ≥ t), remarquons que
∪ n {N nt = 0, N (n+1)t ≥ 2} ⊂ {T 2 < T 1 + t},
et que par la propriété d’accroissements indépendants stationnaires,
P(∪ n {N nt = 0, N (n+1)t ≥ 2}) =
n
P(N nt = 0)P(N t ≥ 2) ≤ P(T 2 < T 1 + t).
Nous en déduisons que
n
e
−λ(0)nt P(N t ≥ 2) = (1 − e
−λ(0)t )
−1 P(N t ≥ 2) ≤ P(T 2 < T 1 + t).
Mais, quand t tend vers 0, cette dernière quantité vaut P(T 2 ≤ T 1 ) = 0. Comme pour t
suffisamment petit, nous avons par ailleurs que (λ(0)t)
−1 ≤ (1 − e
−λ(0)t )
−1 , nous en déduisons finalement que
1
t
P(N t ≥ 2) tend vers 0 quand t → 0.
Remarque 5.2.7 Nous pouvons donner une interprétation intuitive de ce résultat. Il
résulte de la preuve ci-dessus que
P(N t+h − N t = 0) = 1 − λh + o(h)
P(N t+h − N t = 1) = λh + o(h)
P(N t+h − N t ≥ 2) = o(h).
Donc à o(h) près, N t+h − N t est une variable aléatoire de Bernoulli prenant la valeur 0
avec probabilité 1 − λh et la valeur 1 avec probabilité λh. Cette propriété jointe à l’indépendance des accroissements et à la formule
N t+s − N t =
n
j=1
(N t+jh − N t+(j−1)h ) , avec h =
s
n
,
entraîne que N t+s − N t suit approximativement une loi binomiale de paramètre (n, λs/n).
On peut montrer facilement que quand n tend vers l’infini, cette loi tend vers une loi de
Poisson de paramètre λs.
Remarque 5.2.8 Notons également que la Proposition 5.2.5 et la propriété d’indépendance des accroissements permettent d’obtenir la loi de tout vecteur (N t1 , · · · , N t d ), pour
t 1 < · · · < t d .
Nous pouvons également déduire de la Proposition 5.2.5 la loi du premier temps de saut
du processus (N t ).
5