5.2. UN PROTOTYPE : LE PROCESSUS DE POISSON
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Définition 5.2.6 Le paramètre λ est appelé intensité du processus de Poisson. Il est égal
au nombre moyen d’événements qui se produisent pendant une unité de temps, puisque
E(N t+1 − N t ) = λ.
On dit aussi que les événements se produisent au taux λ.
Preuve. Soit g t la fonction génératrice de N t . Nous avons, pour u ∈ [0, 1],
g t (u) = E(u
Nt ) =
k≥0
P(N t = k) u
k .
Nous voulons montrer que g t est la fonction génératrice d’une variable aléatoire de loi de
Poisson de paramètre λt, c’est-à-dire que
g t (u) = exp(−(λt(1 − u)).
Par indépendance des accroissements et pour s < t, nous avons que g t (u) = g t−s (u)g s (u),
et plus généralement nous pouvons prouver que g t (u) = ((g 1 (u))
t . (On le prouve pour les
entiers puis pour les rationnels et on conclut en utilisant la décroissance de t → g t (u)).
Par ailleurs, comme g t (u) ≥ P(N t = 0) = P(T 1 > t), qui tend vers 1 quand t → 0, nous
pouvons assurer que g 1 (u) est non nul. Comme de plus, g 1 (u) ≤ 1, il existe donc λ(u) > 0
tel que
g t (u) = e
−λ(u)t .
Montrons que λ(u) est de la forme λ × (1 − u), avec λ constante.
Remarquons que
λ(u) = lim
t↓0
1
t
(1 − g t (u)) = lim
t↓0
1
t
k≥1
P(N t = k)(1 − u
k ).
Puisque u ≤ 1, nous en déduisons que pour tout t,
0 ≤
1
t
(1 − g t (u)) −
1
t
P(N t = 1)(1 − u) =
1
t
k≥2
P(N t = k)(1 − u
k ) ≤
1
t
P(N t ≥ 2).
Supposons que
1
t
P(N t ≥ 2) tende vers 0 quand t → 0. Alors
λ(u) = lim
t↓0
1
t
P(N t = 1)(1 − u)
existe et λ(u) = (1 − u)λ(0), avec λ(0) = lim t↓0
1
t
P(N t = 1). Nous aurons donc prouvé la
Proposition 5.2.5 avec λ = λ(0).
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