5.2. UN PROTOTYPE : LE PROCESSUS DE POISSON
1 7
Remarque 5.1.6 Cette propriété justifie que l’on appelle la famille d’opérateurs (P (t), t ≥
0) le semi-groupe de transition du processus.
Preuve. Soit i, k ∈ N et s, t > 0. On a
P i,k (t + s) = P(X t+s = k|X 0 = i) =
j
P (X t = j, X t+s = k|X 0 = i)
=
j
P(X t+s = k|X t = j)P(X t = j|X 0 = i) =
j
P i,j (t)P j,k (s)
par la propriété de Markov, d’où P (t + s) = P (t)P (s).
5.2 Un prototype : le processus de Poisson
5.2.1 Définition d’un processus de Poisson
Nous allons introduire le prototype des processus de saut, que l’on suppose à accroissements indépendants et stationnaires. Ce processus modélise les temps d’apparitions
successives d’événements aléatoires.
Définition 5.2.1 Un processus ponctuel sur R + est un processus de saut avec sauts d’amplitude 1. Il se décrit par la donnée d’une suite (presque-sûrement) croissante de temps
aléatoires
0 < T 1 < T 2 < · · · < T n < · · · ,
définis sur un espace de probabilité (Ω, F, P), à valeurs dans R + et vérifiant
T n → +∞ presque-sûrement, quand n tend vers l’infini.
Les variables aléatoires T n modélisent les instants où se produisent les événements.
Les variables aléatoires
S 1 = T 1 ; S 2 = T 2 − T 1 ; · · · , S n = T n − T n−1 , · · ·
modélisent les longueurs des intervalles ou temps d’attente entre deux événements successifs.
Définition 5.2.2 La fonction aléatoire de comptage (N t ) t≥0 associée au processus ponctuel {T n , n ∈ N} est définie par
N t = sup{n, T n ≤ t} =
j≥1
1 {Tj ≤t} .
N t est donc le nombre d’événements qui se sont produits avant l’instant t et l’on a N Tn = n
pour tout n.
4
1 7
Remarque 5.1.6 Cette propriété justifie que l’on appelle la famille d’opérateurs (P (t), t ≥
0) le semi-groupe de transition du processus.
Preuve. Soit i, k ∈ N et s, t > 0. On a
P i,k (t + s) = P(X t+s = k|X 0 = i) =
j
P (X t = j, X t+s = k|X 0 = i)
=
j
P(X t+s = k|X t = j)P(X t = j|X 0 = i) =
j
P i,j (t)P j,k (s)
par la propriété de Markov, d’où P (t + s) = P (t)P (s).
5.2 Un prototype : le processus de Poisson
5.2.1 Définition d’un processus de Poisson
Nous allons introduire le prototype des processus de saut, que l’on suppose à accroissements indépendants et stationnaires. Ce processus modélise les temps d’apparitions
successives d’événements aléatoires.
Définition 5.2.1 Un processus ponctuel sur R + est un processus de saut avec sauts d’amplitude 1. Il se décrit par la donnée d’une suite (presque-sûrement) croissante de temps
aléatoires
0 < T 1 < T 2 < · · · < T n < · · · ,
définis sur un espace de probabilité (Ω, F, P), à valeurs dans R + et vérifiant
T n → +∞ presque-sûrement, quand n tend vers l’infini.
Les variables aléatoires T n modélisent les instants où se produisent les événements.
Les variables aléatoires
S 1 = T 1 ; S 2 = T 2 − T 1 ; · · · , S n = T n − T n−1 , · · ·
modélisent les longueurs des intervalles ou temps d’attente entre deux événements successifs.
Définition 5.2.2 La fonction aléatoire de comptage (N t ) t≥0 associée au processus ponctuel {T n , n ∈ N} est définie par
N t = sup{n, T n ≤ t} =
j≥1
1 {Tj ≤t} .
N t est donc le nombre d’événements qui se sont produits avant l’instant t et l’on a N Tn = n
pour tout n.
4