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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Proposition 5.1.4 Soit (X t ) t un processus markovien de saut homogène, de loi initiale
μ et de matrice (P (t), t > 0). Pour tout n ∈ N, pour tous 0 < t 1 < · · · < t n , la loi du
vecteur aléatoire (X 0 , X t1 , · · · , X tn ) est donnée par : pour tous i 0 , i 1 , · · · , i n ∈ N,
P (X 0 = i 0 , X t1 = i 1 , · · · , X tn = i n ) = μ i0 P i0,i1 (t 1 )P i1,i2 (t 2 − t 1 ) × · · · × P in−1,in (t n − t n−1 ).
(5.1.2)
Preuve. Il résulte immédiatement des probabilités conditionnelles et de la propriété de
Markov que
P (X 0 = i 0 , X t1 = i 1 , · · · , X tn = i n )
= P(X 0 = i 0 ) P(X t1 = i 1 |X 0 = i 0 ) P (X t2 = i 2 |X 0 = i 0 , X t1 = i 1 )
× · · · × P
X tn = i n |X 0 = i 0 , , · · · , X tn−1 = i n−1
= μ i0 P i0,i1 (t 1 ) P i1,i2 (t 2 − t 1 ) × · · · × P in−1,in (t n − t n−1 ).
Cette proposition est fondamentale car elle montre que la loi μ et les matrices de transition
(P (t), t > 0) suffisent à caractériser la loi du processus. En effet, nous savons par le
Théorème 4.2.2, que la loi d’un processus à valeurs dans l’ensemble des fonctions de
R + dans R muni de la tribu produit, est caractérisée par les lois des marginales finidimensionnelles (X t1 , · · · , X tn ), pour tous 0 ≤ t 1 < · · · < t n et pour tout n ∈ N
∗ .
En particulier, pour tout t > 0, pour toute fonction positive ou bornée g : N → R, nous
avons
E(g(X t )| X 0 = i) = (P (t)g) i =
j∈N
P i,j (t)g j .
La loi μ(t) de X t sera donnée par
μ(t) = μP (t) : ∀j ∈ N , μ j (t) =
i∈N
μ i P i,j (t).
(La multiplication à gauche par une mesure est duale de la multiplication à droite par
une suite).
De plus,
Proposition 5.1.5 Les matrices (P (t), t > 0) vérifient que P (0) = Id et la relation de
semi-groupe, appelée équation de Chapman-Kolmogorov :
P (t + s) = P (t)P (s) = P (s)P (t).
(5.1.3)
Ainsi le produit (au sens matriciel) commute.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Proposition 5.1.4 Soit (X t ) t un processus markovien de saut homogène, de loi initiale
μ et de matrice (P (t), t > 0). Pour tout n ∈ N, pour tous 0 < t 1 < · · · < t n , la loi du
vecteur aléatoire (X 0 , X t1 , · · · , X tn ) est donnée par : pour tous i 0 , i 1 , · · · , i n ∈ N,
P (X 0 = i 0 , X t1 = i 1 , · · · , X tn = i n ) = μ i0 P i0,i1 (t 1 )P i1,i2 (t 2 − t 1 ) × · · · × P in−1,in (t n − t n−1 ).
(5.1.2)
Preuve. Il résulte immédiatement des probabilités conditionnelles et de la propriété de
Markov que
P (X 0 = i 0 , X t1 = i 1 , · · · , X tn = i n )
= P(X 0 = i 0 ) P(X t1 = i 1 |X 0 = i 0 ) P (X t2 = i 2 |X 0 = i 0 , X t1 = i 1 )
× · · · × P
X tn = i n |X 0 = i 0 , , · · · , X tn−1 = i n−1
= μ i0 P i0,i1 (t 1 ) P i1,i2 (t 2 − t 1 ) × · · · × P in−1,in (t n − t n−1 ).
Cette proposition est fondamentale car elle montre que la loi μ et les matrices de transition
(P (t), t > 0) suffisent à caractériser la loi du processus. En effet, nous savons par le
Théorème 4.2.2, que la loi d’un processus à valeurs dans l’ensemble des fonctions de
R + dans R muni de la tribu produit, est caractérisée par les lois des marginales finidimensionnelles (X t1 , · · · , X tn ), pour tous 0 ≤ t 1 < · · · < t n et pour tout n ∈ N
∗ .
En particulier, pour tout t > 0, pour toute fonction positive ou bornée g : N → R, nous
avons
E(g(X t )| X 0 = i) = (P (t)g) i =
j∈N
P i,j (t)g j .
La loi μ(t) de X t sera donnée par
μ(t) = μP (t) : ∀j ∈ N , μ j (t) =
i∈N
μ i P i,j (t).
(La multiplication à gauche par une mesure est duale de la multiplication à droite par
une suite).
De plus,
Proposition 5.1.5 Les matrices (P (t), t > 0) vérifient que P (0) = Id et la relation de
semi-groupe, appelée équation de Chapman-Kolmogorov :
P (t + s) = P (t)P (s) = P (s)P (t).
(5.1.3)
Ainsi le produit (au sens matriciel) commute.
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