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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
à accroissements indépendants et stationnaires. Nous montrerons que les durées entre deux
sauts de ce processus sont des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle et
que le loi du processus à un instant fixé est une loi de Poisson. Nous montrerons qu’une
structure de même type existe dans un cadre plus général où la loi des instants de saut et
la loi de reproduction peuvent dépendre de l’état instantané de la population, décrivant
ainsi des situations de densité-dépendance et prenant en compte l’impact des ressources
par exemple. Nous montrerons que la dynamique de la loi du processus à chaque instant
suit une équation différentielle matricielle (appelée équation de Kolmogorov) dirigée par
une matrice spécifique que l’on appelle générateur infinitésimal du processus. Grâce à
la propriété de Markov, la donnée de ce générateur et de la condition initiale suffit à
caractériser la loi du processus. Les cas spécifiques du processus de branchement à temps
continu et du processus de naissance et mort seront étudiés avec un accent particulier pour
l’étude de la probabilité d’extinction et de le loi du temps d’extinction quand celui-ci est
fini presque-sûrement.
5.1 Processus markovien de saut
Définition 5.1.1 Un processus de saut (X t , t ≥ 0) est un processus à valeurs dans un
espace fini ou dénombrable E dont les trajectoires sont presque-sûrement continues à droite
et limitées à gauche et constantes entre des instants de saut isolés. La donnée du processus
(X t , t ≥ 0) est équivalente à la donnée de la suite de variables aléatoires (T n , Z n ), n ≥ 0,
où T n ∈ R ∪ {+∞} est le n-ième instant de saut et Z n ∈ E la position du processus juste
avant le saut T n+1 . De plus T 0 = 0 et les instants de saut T n ∈ R ∪ {+∞} forment une
suite croissante telle que
T n (ω) < T n+1 (ω) si T n (ω) < +∞.
On suppose également que les instants de saut ne s’accumulent pas en un temps fini :
lim
n→∞
T n (ω) = +∞.
(5.1.1)
Dans ce cas, nous avons
X t (ω) =
n≥0,Tn(ω)<+∞
Z n (ω)1 [Tn(ω),Tn+1(ω)[ (t).
Une trajectoire type est représentée en Figure 5.1.
Remarque 5.1.2 Nos motivations concernent essentiellement les tailles de populations
et nous allons limiter notre étude au cas des processus à valeurs entières avec E = N
Nous allons supposer de plus que les processus de saut sont markoviens, dans le sens
suivant.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
à accroissements indépendants et stationnaires. Nous montrerons que les durées entre deux
sauts de ce processus sont des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle et
que le loi du processus à un instant fixé est une loi de Poisson. Nous montrerons qu’une
structure de même type existe dans un cadre plus général où la loi des instants de saut et
la loi de reproduction peuvent dépendre de l’état instantané de la population, décrivant
ainsi des situations de densité-dépendance et prenant en compte l’impact des ressources
par exemple. Nous montrerons que la dynamique de la loi du processus à chaque instant
suit une équation différentielle matricielle (appelée équation de Kolmogorov) dirigée par
une matrice spécifique que l’on appelle générateur infinitésimal du processus. Grâce à
la propriété de Markov, la donnée de ce générateur et de la condition initiale suffit à
caractériser la loi du processus. Les cas spécifiques du processus de branchement à temps
continu et du processus de naissance et mort seront étudiés avec un accent particulier pour
l’étude de la probabilité d’extinction et de le loi du temps d’extinction quand celui-ci est
fini presque-sûrement.
5.1 Processus markovien de saut
Définition 5.1.1 Un processus de saut (X t , t ≥ 0) est un processus à valeurs dans un
espace fini ou dénombrable E dont les trajectoires sont presque-sûrement continues à droite
et limitées à gauche et constantes entre des instants de saut isolés. La donnée du processus
(X t , t ≥ 0) est équivalente à la donnée de la suite de variables aléatoires (T n , Z n ), n ≥ 0,
où T n ∈ R ∪ {+∞} est le n-ième instant de saut et Z n ∈ E la position du processus juste
avant le saut T n+1 . De plus T 0 = 0 et les instants de saut T n ∈ R ∪ {+∞} forment une
suite croissante telle que
T n (ω) < T n+1 (ω) si T n (ω) < +∞.
On suppose également que les instants de saut ne s’accumulent pas en un temps fini :
lim
n→∞
T n (ω) = +∞.
(5.1.1)
Dans ce cas, nous avons
X t (ω) =
n≥0,Tn(ω)<+∞
Z n (ω)1 [Tn(ω),Tn+1(ω)[ (t).
Une trajectoire type est représentée en Figure 5.1.
Remarque 5.1.2 Nos motivations concernent essentiellement les tailles de populations
et nous allons limiter notre étude au cas des processus à valeurs entières avec E = N
Nous allons supposer de plus que les processus de saut sont markoviens, dans le sens
suivant.
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