Chapitre 5
Processus de population en temps
continu
Il lui fallait maintenant une grande variété de modèles peut-être transformables l’un dans
l’autre, selon une procédure combinatoire, pour trouver celui qui convenait à une réalité
qui, à son tour, était toujours faite de plusieurs réalités différentes, dans le temps comme
dans l’espace. Calvino, Palomar.
Dans le Chapitre 3, nous avons considéré des processus de branchement indexés
par le temps discret, temps qui modélise par exemple le nombre de générations ou le
nombre de périodes de temps dans un processus de reproduction cyclique (reproduction
saisonnière, annuelle) ou le temps physique discrétisé. Dans ce chapitre, nous allons considérer des populations dont les individus se reproduisent et meurent à des temps aléatoires,
continûment au cours du temps. Nous pourrons ainsi avoir des chevauchements de générations propres à certaines espèces. La dynamique de ces populations va dépendre du temps
physique t ∈ R + .
Nous allons nous intéresser au processus aléatoire (X t , t ≥ 0) qui décrit la dynamique de la
taille de la population. A chaque temps de naissance, le processus croît de 1, ou plus si il y
a une reproduction multiple, et il décroît de 1 à chaque mort d’un individu. Ce processus
est donc constant par morceaux et saute aux instants aléatoires de naissance et de mort.
Nous supposerons que le processus aléatoire (X t , t ≥ 0) est markovien, c’est à dire que son
comportement aléatoire dans le futur ne dépend du passé que par l’information donnée
par son état présent (nous verrons une définition précise ci-dessous). Cette hypothèse
implique en fait une propriété de non-vieillissement qui est une hypothèse biologique forte.
(Les problèmes de sénescence par exemple, ne pourront pas être étudiés dans ce cadre).
Toutefois l’hypothèse de markovianité donne un cadre mathématique qui permet d’obtenir
des résultats rigoureux et des réponses quantitatives à un certain nombre de questions.
Nous étudierons de manière systématique de tels processus de Markov dont le prototype
est le processus de Poisson. Ce processus, comme le mouvement brownien, est un processus
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
S. Méléard, Modèles aléatoires en Ecologie et Evolution,
Mathématiques et Applications 77, DOI 10.1007/978-3-662-49455-4_5
143
Processus de population en temps
continu
Il lui fallait maintenant une grande variété de modèles peut-être transformables l’un dans
l’autre, selon une procédure combinatoire, pour trouver celui qui convenait à une réalité
qui, à son tour, était toujours faite de plusieurs réalités différentes, dans le temps comme
dans l’espace. Calvino, Palomar.
Dans le Chapitre 3, nous avons considéré des processus de branchement indexés
par le temps discret, temps qui modélise par exemple le nombre de générations ou le
nombre de périodes de temps dans un processus de reproduction cyclique (reproduction
saisonnière, annuelle) ou le temps physique discrétisé. Dans ce chapitre, nous allons considérer des populations dont les individus se reproduisent et meurent à des temps aléatoires,
continûment au cours du temps. Nous pourrons ainsi avoir des chevauchements de générations propres à certaines espèces. La dynamique de ces populations va dépendre du temps
physique t ∈ R + .
Nous allons nous intéresser au processus aléatoire (X t , t ≥ 0) qui décrit la dynamique de la
taille de la population. A chaque temps de naissance, le processus croît de 1, ou plus si il y
a une reproduction multiple, et il décroît de 1 à chaque mort d’un individu. Ce processus
est donc constant par morceaux et saute aux instants aléatoires de naissance et de mort.
Nous supposerons que le processus aléatoire (X t , t ≥ 0) est markovien, c’est à dire que son
comportement aléatoire dans le futur ne dépend du passé que par l’information donnée
par son état présent (nous verrons une définition précise ci-dessous). Cette hypothèse
implique en fait une propriété de non-vieillissement qui est une hypothèse biologique forte.
(Les problèmes de sénescence par exemple, ne pourront pas être étudiés dans ce cadre).
Toutefois l’hypothèse de markovianité donne un cadre mathématique qui permet d’obtenir
des résultats rigoureux et des réponses quantitatives à un certain nombre de questions.
Nous étudierons de manière systématique de tels processus de Markov dont le prototype
est le processus de Poisson. Ce processus, comme le mouvement brownien, est un processus
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
S. Méléard, Modèles aléatoires en Ecologie et Evolution,
Mathématiques et Applications 77, DOI 10.1007/978-3-662-49455-4_5
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