4.8. EXERCICES
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1 - Calculer la moyenne et la variance de ce processus.
2 - Rappeler la formule d’Itô pour ce processus.
3 -Trouver une fonction f de classe C
2 , bornée et de dérivées première et seconde bornées,
définie de R + dans R + et telle que f (Z t ) soit une martingale, pour la filtration engendrée
par le mouvement brownien.
4 - En déduire la probabilité d’extinction de cette diffusion en fonction de la condition
initiale z 0 .
Exercice 4.8.7 Diffusion de Feller logistique.
On s’intéresse au processus markovien Z solution de l’équation différentielle stochastique
dZ t = (rZ t − cZ
2
t ) dt +
Z t dB t ,
Z 0 = z 0 > 0,
où r, c > 0 et (B t ) t≥0 est un mouvement brownien standard. On appelle cette solution
diffusion de Feller logistique.
1 - Justifier que lorsque c = 0, la solution Z t de cette équation différentielle stochastique
existe pour tout t ≥ 0 et est unique.
2 - Donner une interprétation du terme
√
Z t dB t et du terme (rZ t − cZ
2
t )dt en fonction
des paramètres démographiques du modèle.
3 - Afin d’étudier le comportement en temps long de Z, on introduit le changement de
variable X t = 2
√
Z t .
3-a - Quelle est la particularité du point 0 ?
3-b - Montrer que tant que Z n’a pas atteint 0, X est solution de l’équation différentielle
stochastique :
dX t = q(X t ) dt + dB t ,
où q(x) = −
1
2x
+
rx
2
−
cx
3
8
,
de valeur initiale x 0 = 2
√ z 0 .
4-a - On pose
Q(x) :=
x
1
2q(y) dy,
puis Λ(x) :=
x
1
e
−Q(y) dy. Vérifier que Λ
(x)q(x) +
1
2
Λ
(x) = 0.
4-b - En déduire que pour tout 0 < a < x 0 < b, le processus (Λ(X t∧Ta∧T b )) t≥0 est une
martingale, puis que
P x0 [T a < T b ] =
Λ(b) − Λ(x 0 )
Λ(b) − Λ(a)
.
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