1 0 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Exercice 4.8.5 Se reproduire avant d’être dévoré.
On considère une araignée d’eau se déplaçant le long d’une rivière comme un mouvement
brownien uni-dimensionnel (B t : t ≥ 0) et attendue en un point a > 0 par une bande
de grenouilles qui la happera immédiatement. Supposons que l’araignée se reproduise au
bout d’un temps exponentiel de paramètre μ > 0, indépendant de son déplacement. On
cherche à savoir si et quand l’araignée va mourir et si elle aura le temps de se reproduire
auparavant.
1 - Interpréter biologiquement l’hypothèse d’indépendance entre le déplacement et la
reproduction de l’araignée.
2 - Soit λ > 0. Montrer que exp(λB t − λ
2 t/2) est une martingale.
3 - On note T a le temps d’atteinte de a par le mouvement brownien. Montrer que
exp(λB t∧Ta − λ
2 (t ∧ T a )/2) est une martingale bornée.
4 - Montrer que la probabilité p que l’araignée meure sans descendance est donnée par
p = exp
− a
2μ
.
5 - Il y a maintenant une autre colonie de grenouilles en position −a.
On note T
a := T a ∧ T −a le premier temps d’atteinte de l’une des zones à grenouilles par
l’araignée. Trouver une martingale qui permette de calculer la nouvelle probabilité p de
mort sans reproduction et montrer que
p =
1
cosh(a
√
2μ)
.
6 - À l’aide du résultat précédent, montrer que
E
T
a e
−μT
a
=
a
√
2μ
sinh(a
√
2μ)
cosh
2 (a
√
2μ)
.
7 - En déduire rigoureusement que E(T
a ) = a
2 et retrouver ce résultat à l’aide d’une
martingale très simple.
Exercice 4.8.6 Diffusion de Feller (cf. Feller [35]).
Soit T > 0. Soit (Z t , t ≥ 0) le processus de diffusion défini comme l’unique solution,
(dans l’ensemble des processus {(Y t , t ≥ 0) ; E(sup t≤T |Y t |
2 ) < +∞}), de l’équation
différentielle stochastique suivante
dZ t = rZ t dt +
σZ t dB t , Z 0 = z 0 > 0,
(4.8.33)
pour r ∈ R et σ > 0. On l’appelle processus de diffusion de Feller.
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Exercice 4.8.5 Se reproduire avant d’être dévoré.
On considère une araignée d’eau se déplaçant le long d’une rivière comme un mouvement
brownien uni-dimensionnel (B t : t ≥ 0) et attendue en un point a > 0 par une bande
de grenouilles qui la happera immédiatement. Supposons que l’araignée se reproduise au
bout d’un temps exponentiel de paramètre μ > 0, indépendant de son déplacement. On
cherche à savoir si et quand l’araignée va mourir et si elle aura le temps de se reproduire
auparavant.
1 - Interpréter biologiquement l’hypothèse d’indépendance entre le déplacement et la
reproduction de l’araignée.
2 - Soit λ > 0. Montrer que exp(λB t − λ
2 t/2) est une martingale.
3 - On note T a le temps d’atteinte de a par le mouvement brownien. Montrer que
exp(λB t∧Ta − λ
2 (t ∧ T a )/2) est une martingale bornée.
4 - Montrer que la probabilité p que l’araignée meure sans descendance est donnée par
p = exp
− a
2μ
.
5 - Il y a maintenant une autre colonie de grenouilles en position −a.
On note T
a := T a ∧ T −a le premier temps d’atteinte de l’une des zones à grenouilles par
l’araignée. Trouver une martingale qui permette de calculer la nouvelle probabilité p de
mort sans reproduction et montrer que
p =
1
cosh(a
√
2μ)
.
6 - À l’aide du résultat précédent, montrer que
E
T
a e
−μT
a
=
a
√
2μ
sinh(a
√
2μ)
cosh
2 (a
√
2μ)
.
7 - En déduire rigoureusement que E(T
a ) = a
2 et retrouver ce résultat à l’aide d’une
martingale très simple.
Exercice 4.8.6 Diffusion de Feller (cf. Feller [35]).
Soit T > 0. Soit (Z t , t ≥ 0) le processus de diffusion défini comme l’unique solution,
(dans l’ensemble des processus {(Y t , t ≥ 0) ; E(sup t≤T |Y t |
2 ) < +∞}), de l’équation
différentielle stochastique suivante
dZ t = rZ t dt +
σZ t dB t , Z 0 = z 0 > 0,
(4.8.33)
pour r ∈ R et σ > 0. On l’appelle processus de diffusion de Feller.
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