4.8. EXERCICES
1 9
Soit une sous-martingale positive (X t ) t≥0 . Montrer que pour tout c > 0, on a
P(sup
s≤t
X s ≥ c) ≤
1
c
E(X t ).
En déduire que si (B t ) t≥0 est un mouvement brownien, alors pour tout c > 0,
P(sup
s≤t
B s ≥ c) ≤ e
−
c 2
2t .
Indication : on pourra étudier e
θBt , pour θ > 0.
Exercice 4.8.4 Loi du logarithme itéré
Dans cet exercice, nous allons démontrer la Proposition 4.3.2. Introduisons pour t grand
la fonction h(t) =
√
2t log log t.
1 - Soit K > 1 et δ > 0. Pour tout n ∈ N, définissons C n =
2(1 + δ)K n log log(K n ).
1-a - Utiliser l’exercice 4.8.3 et le lemme de Borel-Cantelli pour montrer que
P(lim sup
n→∞
{ sup
s≤K n
B s ≥ C n }) = 0.
1-b - En déduire qu’avec probabilité 1, lim sup t→∞
Bt
h(t)
≤ 1.
2 - Soit N ∈ N et ε ∈]0, 1[. Pour tout n ∈ N, on introduit l’ensemble
F n = {B N n+1 − B N n > (1 − ε) h(N
n+1 − N
n )}.
2-a - Soit ϕ la densité de la loi normale centrée réduite. Montrer que
ϕ(x)
x
=
∞
x
1 +
1
y 2
ϕ(y)dy ≤
1 +
1
x 2
∞
x
ϕ(y)dy.
2-b - En déduire que
P(F n ) ≥
1
√
2π
exp
−y
2
2
y
1 + y 2
,
où y = (1 − ε)
2 log log(N n+1 − N n ).
2-c - En utilisant à nouveau le lemme de Borel-Cantelli, montrer que
P(lim sup
n→∞
F n ) = 1.
2-d - Conclure.
3