1 8 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
4.8 Exercices
Exercice 4.8.1 Soit (B t , t ≥ 0) un mouvement brownien.
1 - Montrer que le processus B
, tel que pour tout t > 0 B
t = −B t , définit un nouveau
mouvement brownien.
2 - Montrer que pour tout c > 0, le processus B
c tel que B
(c)
t =
1
c
B c 2 t , définit un nouveau
mouvement brownien.
Exercice 4.8.2 Dispersion de plantes ou d’animaux (cf. Renshaw [65]) .
Nous étudions ici la dispersion au cours du temps d’une population, à partir d’une origine (0, 0) dans un espace de dimension 2. Pour chaque individu, elle est modélisée par
(X t , Y t ) = D(B
1
t , B
2
t ), où (B
1
t , B
2
t ) est un mouvement brownien bi-dimensionnel. Pour
chaque t, la dispersion peut-être également mesurée par les coordonnées polaires (R t , θ t ).
1 - Donner la loi de (R t , θ t ) pour t > 0. Qu’en déduire sur les variables aléatoires R t et
θ t ? Quelle est la loi de R t ?
Quelle est la loi de la surface S t balayée par R t ? Montrer qu’en moyenne, ces surfaces
forment des cercles concentriques en expansion au cours du temps.
2 - On suppose que la population est constante et de taille N . On appelle front d’onde au
temps t le nombre F (t) ∈ R + tel que presque-sûrement, l’on puisse trouver un et un seul
individu à une distance r > F (t). Donner la valeur de F (t) en fonction de N et t.
3 - Supposons maintenant que N a une croissance déterministe exponentielle en fonction
de t, de taux λ > 0. Montrer qu’alors, le front F (t) avance avec vitesse constante.
4 - Ce modèle est appliqué à l’étude de la dispersion de certains chênes qui ont colonisé
l’Angleterre après la dernière glaciation.
Ces chênes produisent à partir de 60 ans, et pendant plusieurs centaines d’années, des
glands qui vont se disperser (en particulier grâce aux oiseaux), et permettre la propagation
spatiale de l’espèce. Nous supposerons donc que l’unité de temps est une génération (60
ans). Nous souhaitons mesurer cette dispersion sous l’hypothèse qu’elle répond au modèle
ci-dessus. On suppose que les premiers chênes sont apparus à la fin de l’âge de glace il y
a 18000 ans et l’on estime à 9 × 10
6 le nombre de chênes matures produits par un chêne
en une génération.
Sachant que le front d’ondes a augmenté de 600 miles, trouver le coefficient de dispersion
D par génération pour cette espèce.
Exercice 4.8.3 Le processus (X t ) t≥0 est une sous-martingale si pour chaque t ≥ 0, X t
est intégrable et si pour 0 ≤ s ≤ t, E(X t |F s ) ≥ X s , où F s = σ(X u , u ≤ s).
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4.8 Exercices
Exercice 4.8.1 Soit (B t , t ≥ 0) un mouvement brownien.
1 - Montrer que le processus B
, tel que pour tout t > 0 B
t = −B t , définit un nouveau
mouvement brownien.
2 - Montrer que pour tout c > 0, le processus B
c tel que B
(c)
t =
1
c
B c 2 t , définit un nouveau
mouvement brownien.
Exercice 4.8.2 Dispersion de plantes ou d’animaux (cf. Renshaw [65]) .
Nous étudions ici la dispersion au cours du temps d’une population, à partir d’une origine (0, 0) dans un espace de dimension 2. Pour chaque individu, elle est modélisée par
(X t , Y t ) = D(B
1
t , B
2
t ), où (B
1
t , B
2
t ) est un mouvement brownien bi-dimensionnel. Pour
chaque t, la dispersion peut-être également mesurée par les coordonnées polaires (R t , θ t ).
1 - Donner la loi de (R t , θ t ) pour t > 0. Qu’en déduire sur les variables aléatoires R t et
θ t ? Quelle est la loi de R t ?
Quelle est la loi de la surface S t balayée par R t ? Montrer qu’en moyenne, ces surfaces
forment des cercles concentriques en expansion au cours du temps.
2 - On suppose que la population est constante et de taille N . On appelle front d’onde au
temps t le nombre F (t) ∈ R + tel que presque-sûrement, l’on puisse trouver un et un seul
individu à une distance r > F (t). Donner la valeur de F (t) en fonction de N et t.
3 - Supposons maintenant que N a une croissance déterministe exponentielle en fonction
de t, de taux λ > 0. Montrer qu’alors, le front F (t) avance avec vitesse constante.
4 - Ce modèle est appliqué à l’étude de la dispersion de certains chênes qui ont colonisé
l’Angleterre après la dernière glaciation.
Ces chênes produisent à partir de 60 ans, et pendant plusieurs centaines d’années, des
glands qui vont se disperser (en particulier grâce aux oiseaux), et permettre la propagation
spatiale de l’espèce. Nous supposerons donc que l’unité de temps est une génération (60
ans). Nous souhaitons mesurer cette dispersion sous l’hypothèse qu’elle répond au modèle
ci-dessus. On suppose que les premiers chênes sont apparus à la fin de l’âge de glace il y
a 18000 ans et l’on estime à 9 × 10
6 le nombre de chênes matures produits par un chêne
en une génération.
Sachant que le front d’ondes a augmenté de 600 miles, trouver le coefficient de dispersion
D par génération pour cette espèce.
Exercice 4.8.3 Le processus (X t ) t≥0 est une sous-martingale si pour chaque t ≥ 0, X t
est intégrable et si pour 0 ≤ s ≤ t, E(X t |F s ) ≥ X s , où F s = σ(X u , u ≤ s).
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